Evaluar Integrales Completando el Cuadrado

Se presentan ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar las técnicas de completar el cuadrado y sustitución para evaluar integrales que involucran expresiones cuadráticas.
También se incluyen ejercicios con sus respuestas.

Revisión de Fórmulas de Derivadas e Integrales

Primero revisamos algunas de las fórmulas de derivadas para funciones inversas conocidas que involucran expresiones cuadráticas.

\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1+x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \text{arcsinh} \; x = \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \text{arccosh} \; x = \dfrac{1}{\sqrt {x^2-1}} \\[15pt] \end{aligned} \]
Ahora usamos las fórmulas de derivadas anteriores para escribir integrales de la siguiente manera. \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = \arcsin x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{1+x^2} \; dx = \arctan x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \; dx = \text{arcsinh} \; x + c\\[15pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt {x^2-1}} \; dx = \text{arccosh} \; x + c\\[15pt] \end{aligned} \]

Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1

Solución al Ejemplo 1
Primero completamos el cuadrado para la expresión \( - x^2 - x \) de la siguiente manera
\[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{dado }} \\[8pt] & - x^2 - x \\[15pt] & \color{red}{\text{factorizamos -1 fuera }} \\[8pt] & = - ( x^2 + x ) \\[15pt] &\color{red}{\text{completamos el cuadrado}}\\[8pt] & = - (x + 1/2)^2 + 1/4 \end{aligned} \]
Sustituimos lo anterior en la integral dada y reescribimos como sigue \[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \; dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{1/4 - (x+1/2)^2}} \; dx \] Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{Factorizamos 1/4 de debajo de la raíz cuadrada en la integral derecha }} \\[8pt] & = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2(x+1/2))^2}} dx \\[15pt] & \color{red}{\text{ Sea \( z = 2(x + 1/2) = 2x + 1\) y por lo tanto \( \dfrac{dz}{dx} = 2 \) o \( dx = \dfrac{dz}{2} \) y la integral se convierte en}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \; dz \\[15pt] &\color{red}{\text{evaluamos la integral anterior usando las integrales en la revisión anterior}}\\[8pt] & = \arcsin(z) + c \\[15pt] &\color{red}{\text{Sustituimos \( z = 2(x + 1/2) \) para obtener la respuesta final }}\\[8pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} dx = \arcsin(2x + 1) + c \end{aligned} \]

Ejemplo 2

Solución al Ejemplo 2
Primero completamos el cuadrado para la expresión \( 3x^2 + 12x + 24 \) de la siguiente manera \begin{aligned} & \color{red}{\text{Dado}} \\[8pt] & = 3x^2 + 12x + 24 \\[15pt] & \color{red}{\text{Factorizamos el \( 3 \) de los términos en \( x^2 \) y \( x \)}} \\[8pt] & = 3( x^2 + 4x) + 24 \\[15pt] & \color{red}{\text{Completamos el cuadrado para el término \( x^2 + 4x \) dentro del paréntesis }} \\[8pt] & = 3( (x + 2)^2 - 2^2 ) + 24 \\[15pt] & \color{red}{\text{Expandimos y simplificamos}} \\[8pt] & = 3\;(x + 2)^2 + 12 \\[15pt] & \color{red}{\text{Factorizamos el \( 12 \) fuera}} \\[8pt] & = 12 \; \left( \dfrac{1}{4} (x + 2)^2 + 1 \right)\\[15pt] & \color{red}{\text{Reescribimos como sigue}} \\[8pt] & = 12 \; \left( ( \dfrac{1}{2} (x + 2))^2 + 1 \right) \\[15pt] & = 12 \; \left( (\dfrac{x}{2} + 1)^2 + 1 \right) \\[15pt] \end{aligned} Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \begin{aligned} & \color{red}{\text{Sea \( z = \dfrac{x}{2} + 1 \) y por lo tanto \( dx = 2 \; dz \) y reescribimos la integral como }} \\[8pt] & \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \; dx = \dfrac{1}{12} \; \int \dfrac{4}{z^2 + 1} \; dz \\[15pt] & \color{red}{\text{Evaluamos la integral anterior usando las integrales en la revisión anterior}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{3} \; \arctan(z) + c \\[15pt] & \color{red}{\text{Sustituimos \( z = \dfrac{x}{2} + 1 \) y obtenemos la respuesta final }} \\[8pt] & = \dfrac{1}{3} \; \arctan \left(\dfrac{x}{2} + 1 \right) + c \\[15pt] \end{aligned}

Ejemplo 3

Solución al Ejemplo 3
Completamos el cuadrado para la expresión \( x^2 + 12x + 40 \) de la siguiente manera \begin{aligned} & \color{red}{\text{Dado}} \\[8pt] & = x^2 + 12x + 40 \\[15pt] & \color{red}{\text{Completamos el cuadrado para el término \( x^2 + 12 \) dentro del paréntesis }} \\[8pt] & = ( x + 6 )^2 + 4 \\[15pt] & \color{red}{\text{La integral dada puede escribirse como sigue}} \\[8pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \; dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{( x + 6 )^2 + 4}} \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{ Factorizamos \( 4 \) fuera de la raíz cuadrada en la derecha}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{2\sqrt{ \left( \dfrac{x}{2} + 3 \right)^2 + 1}} \; dx \\[15pt] \end{aligned} Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \begin{aligned} & \color{red}{\text{Sea \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \), por lo tanto \( 2 dz = dx \), simplificamos y escribimos la integral como }} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \; dz \\[15pt] & \color{red}{\text{Evaluamos la integral anterior usando las integrales en la revisión anterior}} \\[8pt] & = \text{arcsinh}(z) + c \\[15pt] & \color{red}{\text{Sustituimos \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \) y obtenemos la respuesta final }} \\[8pt] & = \text{arcsinh} \left( \dfrac{x}{2} + 3 \right) + c \\[15pt] \end{aligned}

Ejemplo 4

Solución al Ejemplo 4
Completamos el cuadrado para el denominador \( 10+x^2-2x \) de la siguiente manera \begin{aligned} & \color{red}{\text{Dado}} \\[8pt] & = 10+x^2-2x \\[15pt] & \color{red}{\text{Completamos el cuadrado para el denominador \( 10+x^2-2x \) }} \\[8pt] & = (x-1)^2+9 \\[15pt] & \color{red}{\text{ La integral dada puede escribirse como sigue }} \\[8pt] & \int \dfrac{1}{10+x^2-2x}\; dx = \int \dfrac{1}{ (x-1)^2+9 } \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{ Factorizamos \( 9 \) en el denominador}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{ 9 \left( \left(\dfrac{x-1}{3}\right)^2 + 1 \right)} \; dx \\[15pt] \end{aligned} Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \begin{aligned} & \color{red}{\text{ Sea \( z = \dfrac{x - 1}{3} \), por lo tanto \( 3 \; dz = dx \), simplificamos y escribimos la integral como }} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 9 } \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \; 3 \; dz \\[15pt] & \color{red}{\text{Simplificamos y evaluamos la integral anterior usando las integrales en la revisión anterior}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 3} \text{arctan}(z) + c \\[15pt] & \color{red}{\text{Sustituimos \( z = \dfrac{x - 1}{3} \) y obtenemos la respuesta final }} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 3} \text{arctan} \left( \dfrac{x - 1}{3}\right) + c \\[15pt] \end{aligned}

Ejercicios

1. 
   \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \; dx \)
2. 
   \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \; dx \)
3. 
   \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt2}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \; dx \)
4. 
   \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5+x^2+2x}\: \; dx \)

Respuestas

1. 
   \( 3 \; \arcsin(x / 3) + c \)
2. 
   \( \arctan(x/3 + 2) + c \)
3. 
   \( \text{arcsinh}(2x + 5) + c \)
4. 
   \( \dfrac{1}{2}\arctan \left(\dfrac{x+1}{2}\right) + c \)