Se presentan ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar la técnica de integración por partes para encontrar integrales.
Revisión de la Integración por Partes
El método de integración por partes se puede utilizar para integrar fácilmente productos de funciones.
La idea principal de la integración por partes comienza con la derivada del producto de dos funciones u y v como se da por
Reescribe lo anterior como
Toma la integral de ambos lados de la ecuación anterior sigue
Notando que
lo anterior se simplifica para obtener la regla de integración por partes.
Nota que cualquier elección de qué función en la integral izquierda se elige como u y cuál se elige como dv/dx debe simplificar la integral a la derecha de la fórmula anterior.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
En lo que sigue, c es una constante de integración.
Ejemplo 1
Calcular la integral
Solución al Ejemplo 1
3 es una constante y por lo tanto se puede sacar del integrando fuera del signo de la integral.
\( \) \( \)\( \) \( \)
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \) , entonces \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = \displaystyle \int e^x \; dx = e^x \) y usando el método de integración por partes, tenemos
\[
\begin{aligned}
& \color{red}{\text{integral dada}} \\[8pt]
& \int 3 \; x \; e^x \; dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{constante \( 3 \) fuera de la integral}} \\[8pt]
& = 3 \int x \; e^x \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{aplicar integración por partes}}\\[8pt]
& = 3 \left( x \; e^x - \int 1 \cdot e^x \; dx \right) \\[15pt]
&\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& \int 3 x e^x \; dx = 3 \; x \; e^x - 3 \; e^x + c
\end{aligned}
\]
Ejemplo 2
Calcular la integral
\[ \int x \; \sin(x) \; dx \]
Solución al Ejemplo 2
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = - \cos(x) \). Por lo tanto
\[
\begin{aligned}
& \color{red}{\text{integral dada}} \\[8pt]
& \int x \; \sin(x) \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{integración por partes}}\\[8pt]
& = x (-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-cos(x)) \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& \int x \; \sin(x) \; dx = - x \cos(x) + \sin(x) + c
\end{aligned}
\]
Ejemplo 3
Calcular la integral
\[ \int x^2 \; \cos x \; dx \]
Solución al Ejemplo 3
Sea \( u = x^2 \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y \( v = \sin(x) \) y aplicamos la integración por partes.
\[ \int \; x^2 \cos(x) \; dx = x^2 \sin (x) - 2 \int x\; \sin (x) \; dx \qquad (I)\]
Ahora necesitamos aplicar el método de integración por partes a la integral \( \displaystyle \int x\; \sin (x) \; dx \)
. En el ejemplo 2 evaluamos la integral \( \displaystyle \int x\; \sin (x) \; dx = - x \cos(x) + \sin(x) \) y podemos sustituir esto en la integral anterior. Por lo tanto, el resultado final está dado por
\[
\begin{aligned}
& \color{red}{\text{lado derecho de (I) anterior}} \\[8pt]
& x^2 \sin (x) - 2 \int x\; \sin (x) \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{sustituir integral a la derecha de (I)}} \\[8pt]
& = x^2 \sin(x) - 2 (- x \cos(x) + \sin(x)) + c \\[15pt]
&\color{red}{\text{simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& \int x^2 \; \cos x \; dx = x^2 \sin(x) + 2 x \cos(x) - 2 \sin(x) + c
\end{aligned}
\]
Ejemplo 4
Calcular la integral
\[ \int x \; \ln x \; dx \]
Solución al Ejemplo 4:
Sea \( u = \ln(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = x \) , entonces \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \)y \( v = \dfrac{x^2}{2} \) y aplicamos la integración por partes.
\[
\begin{aligned}
&\color{red}{\text{Dada la integral}} \\[8pt]
& \int x \; \ln x \; dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{integración por partes}} \\[8pt]
& = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \; \dfrac{1}{x} \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{simplificar el integrando}} \\[8pt]
& = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \int \dfrac{x}{2} \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{evaluar la integral para obtener la respuesta final }} \\[8pt]
& \int x^2 \; \ln x \; dx = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \dfrac{1}{4} \; x^2 + c
\end{aligned}
\]
Ejemplo 5
Calcular la integral
\[ \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx \]
Solución al Ejemplo 5:
Sea \( u = x \) y \( \dfrac{dv}{dx} = \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) y \( v = 3 \sin \left(\frac{x}{3}\right) \)
\[
\begin{aligned}
&\color{red}{\text{Dada la integral}} \\[8pt]
& \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{integración por partes}} \\[8pt]
& = x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx = 3 x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c
\end{aligned}
\]
Ejemplo 6
Usar integración por partes para evaluar la integral
\[ \int \ln x \; dx \]
Solución al Ejemplo 6:
Primero reescribimos el integrando \( \ln(x) \) como \( 1 \cdot ln(x) \)
\[ \int \ln(x) dx = \int 1 \cdot ln(x) \;dx \]
Sea \( u = \ln(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \) , entonces \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac {1}{x} \) y \( v = x \). Usando integración por partes, obtenemos
\[
\begin{aligned}
& \int 1 \cdot \ln(x) \;dx = x \ln(x) - \int x \cdot (1/x) dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{simplificar el integrando en el lado derecho}} \\[8pt]
& = x \ln(x) - \int 1 \cdot dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{evaluar la integral y simplificar para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& \int \ln(x) \; dx = x \ln(x) - x + c
\end{aligned}
\]
Ejemplo 7
Usar integración por partes para evaluar la integral
\[ \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx \]
Solución al Ejemplo 7:
Sea \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) y \( u = (ln(x))^2 \) entonces \( v = \dfrac{x^3}{3} \) y \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \) y usamos integración por partes para escribir
\[
\begin{aligned}
& \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx = \dfrac{x^3}{3} \; (\ln(x))^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\[15pt]
&\color{red}{\text{simplificar el integrando en el lado derecho}} \\[8pt]
& = \dfrac{x^3}{3} \; (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \; \ln x \; dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sea \( \dfrac{dw}{dx} = x^2 \) y \( z = \ln(x) \) entonces \( w = \dfrac{x^3}{3} \) y \( z' = \dfrac{1}{x} \) y usamos la }} \\[8pt]
& \color{red}{\text{integración por partes una vez más en la integral a la derecha}} \\[8pt]
&= \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{x^3}{3} \ln(x) - \int \dfrac{x^3}{3} \dfrac{1}{x} \; dx \right) \\[15pt]
& \color{red}{\text{simplificar el integrando a la derecha}} \\[8pt]
&= \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{x^3}{3} \ln(x) - \dfrac{1}{3} \int x^2 \; dx \right) \\[15pt]
& \color{red}{\text{Expandir y simplificar}} \\[8pt]
&= \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln(x) + \dfrac{2}{9} \int x^2 \; dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{Integrar a la derecha para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx = (\ln(x))^2 \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2}{9}x^3 \ln(x) + \dfrac{2}{27} x^3 + c \\[15pt]
\end{aligned}
\]
Ejemplo 8
Usar integración por partes para evaluar la integral
\[ \int e^x \sin (2x) dx \]
Solución al Ejemplo 8:
Sea \( I = \int e^x \sin (2x) \; dx \) que es la integral a evaluar.
Sea \( v = \sin(2x) \) y \( \dfrac{du}{dx} = e^x \) entonces \( \dfrac{dv}{dx} = 2 \cos(2x) \) y \( u = e^x \).
Usamos integración por partes de la siguiente manera
\[
\begin{aligned}
& \int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2 \cos(2x) dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sacamos la constante \( 2 \) fuera del signo integral y reescribimos como}} \\[8pt]
& = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cdot \cos(2x) dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{Ahora dejamos \( w = \cos(2x) \) y \( \dfrac{dz}{dx} = e^x \) entonces \( w'= -2 \sin(2x) \) y \( z = e^x \) y }} \\[8pt]
& \color{red}{\text{usamos integración por partes una vez más en la integral a la derecha}}\\[8pt]
& = e^x \sin(2x) - 2 \left(e^x \cdot \cos(2x) - \left(\int e^x \cdot (-2 \sin(2x)) dx \right)\right) \\[15pt]
& \color{red}{\text{Expandir y simplificar}} \\[8pt]
& = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) - 4 \left(\int e^x \cdot \sin (2x) \right) dx \\[15pt]
& \color{red}{\text{Note que la integral a la derecha es la integral \( I = \int e^x \cdot \sin (2x) dx \)}}\\[8pt]
& \color{red}{\text{que estamos tratando de evaluar, por lo que lo anterior se puede escribir como}}\\[8pt]
& I = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) - 4 I \\[15pt]
& \color{red}{\text{Resolvemos la última ecuación para \( I \) para obtener la respuesta final}} \\[8pt]
& 5I = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) \\[15pt]
& I = \int e^x \cdot \sin (2x) dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c
\end{aligned}
\]
Ejercicios
Utiliza la tabla de integrales y el método de integración por partes para encontrar las siguientes integrales. [Ten en cuenta que es posible que necesites utilizar el método de integración por partes más de una vez].
\( \displaystyle \int x \; \cos(x) \; dx \)
\( \displaystyle \int x \; e^{2x} \; dx \)
\( \displaystyle \int x^{1/3} \; \ln x \; dx \)
\( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \; dx \)
\( \displaystyle \int x^3 \; \cos x \; dx \)
\( \displaystyle \int x^2 \; e^{-3x} \; dx \)
\( \displaystyle \int e^x \; \cos(2 x) \; dx \)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
\( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
\( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
\( \dfrac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + c \)
Reescribe lo anterior como
Toma la integral de ambos lados de la ecuación anterior sigue
Notando que 
Nota que cualquier elección de qué función en la integral izquierda se elige como u y cuál se elige como dv/dx debe simplificar la integral a la derecha de la fórmula anterior.
Solución al Ejemplo 1
