Longitud de una Curva

\( \) \( \) \( \) \( \)

Fórmula de la Longitud de una Curva

Para una función \( f \) que es continua en el \( [a,b] \), la longitud de la curva \( y = f(x) \) desde \( a \) hasta \( b \) se da por [1] [2] [3] \[ \int_{a}^{b} \; \sqrt{1+\left( \dfrac{df}{dx} \right)^2 }\; dx \]

Longitud del Arco
Fig.1 - Longitud de una Curva Desde el Punto \( (a,f(a)) \) hasta el Punto \( (b,f(b)) \)



Ejemplos y Soluciones

Ejemplo 1
Encuentra la longitud del arco de la parábola \( y = 0.1 x^2 + 2 \) entre los puntos \( (-15,24.5) \) y \( (10,12) \).

Longitud del Arco de una Parábola
Fig.2 - Longitud del Arco de una Parábola


Solución del Ejemplo 1
Primero calculamos la derivada
\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2 x \]
Usamos la fórmula para la longitud del arco dada arriba
\[ L = \int_{-15}^{10} \; \sqrt{1+\left( 0.2 x \right)^2 }\; dx \]
Usamos la sustitución trigonométrica \( \quad \tan u = 0.2 x \)
Tomamos la derivada de ambos lados de la sustitución anterior
\( \sec ^2 (x) \dfrac{du}{dx} = 0 .2 \) lo que da \( dx = 5 \sec ^2 u du \)

Resolviendo \( \quad \tan u = 0.2 x \) para \( u \) da \( u = \arctan (0.2 x) \)
Límites de integración después de la sustitución
\( u_1 = \arctan (0.2(-15)) \approx -1.24904 \) cuando \( x = - 15 \) el límite inferior de la integral
\( u_2 = \arctan (0.2(10)) \approx 1.10714 \) cuando \( x = 10 \) el límite superior de la integral
\[ L = 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; \sqrt{1+\tan^2 u }\; dx \]
Usamos la identidad \( \sqrt{1 + \tan^2 u } = |\sec u| \) y hacemos la sustitución \( \quad dx = 5 \sec ^2 u du \) para obtener
\[ 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; |\sec u| \sec ^2u \; du \]
Para \( u \) en el intervalo \( \left[ \arctan (0.2(-15)) , \arctan (0.2(10)) \right] \), \( \sec u \) es positivo. Por lo tanto, la integral se convierte en
\[ L = 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; \sec ^3u \; du \]
Usamos la integral indefinida integral de \( \sec ^3u \) dada por \[ \int \sec^3 x \; dx = \dfrac{1}{2} \left( \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + \sec x| \right) + c \] para evaluar la longitud del arco
\[ L = \left[ \dfrac{1}{2} \left( \sec u \tan u + \ln| \sec u + \tan u| \right) \right]_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \\\\ \approx 43.05 \]



Ejemplo 2
Encuentra la longitud del arco a lo largo de la curva \( f(x) = \ln(\sin x) \) entre los puntos \( (\dfrac{\pi}{4}, f(\dfrac{\pi}{4})) \) y \( (\dfrac{\pi}{2}, f(\dfrac{\pi}{2})) \).

Longitud del Arco a lo largo de la Curva \( y = \ln (\sin x)) \)
Fig.3 - Longitud del Arco a lo largo de la Curva \( y = \ln (\sin x)) \)


Solución del Ejemplo 2
Calcula la derivada \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\ln(\sin x)}{dx} \\ = \cot x\]
Aplicando la fórmula para la longitud del arco
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; \sqrt{1+( \cot x)^2 } \; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( 1+(\cot x)^2 = csc^2 x \), \( L \) se convierte en

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; |\csc x| \; dx \]
\( \csc x \) es positivo en el intervalo cerrado de integración \( [ \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{\pi}{2} ] \) y por lo tanto \( |\csc x| = \csc x \) y \( L \) se convierte en \[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; \csc x \; dx \]
Usa la común integral de \( \csc x \) : \( \displaystyle \int \csc x \; dx = \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+C \) para escribir \[ L = \left[ \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \approx 0.88137 \]



Ejemplo 3
Encuentra la longitud del arco a lo largo de la mitad de un círculo dado por \( f(x) = 2 + \sqrt {9 - (x+2)^2} \) entre los puntos \( (-4, f(-4) \) y \( (0, f(0) \).

Longitud del Arco a lo largo de la Mitad de un Círculo
Fig.4 - Longitud del Arco a lo largo de la Mitad de un Círculo \( y = 2 + \sqrt {9 - (x+2)^2} \)


Solución del Ejemplo 3
Calcula la derivada \[ \dfrac{df}{dx} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]
Aplicando la fórmula para la longitud del arco
\[ L = \int_{-4}^{0} \; \sqrt{1+( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} )^2 } \; dx \]
La integral anterior es complicada y por lo tanto se usó el software Symbolab para aproximar la integral numéricamente. \[ L \approx 4.29 \]



Más Referencias y Enlaces

  1. Cálculo Universitario - Trascendentes Tempranas - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
  2. Cálculo - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
  3. Cálculo - Trascendentes Tempranas - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8