Integrales Involucrando \( \sin(x) \) con Potencias Pares
Se presenta un tutorial para encontrar integrales que involucran potencias pares de \( \sin(x) \), utilizando fórmulas de reducción de potencia. Los ejercicios con respuestas están al final de la página. Integrar potencias impares del seno es mucho más sencillo.
Revisión de Fórmulas de Reducción de Potencia
Para \( n \) un entero positivo, tenemos las siguientes fórmulas en trigonometría que pueden ser usadas para reducir la potencia de \( \sin(x) \).
(a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
(b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
(c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
(d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
(e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
Ejemplos con Soluciones Detalladas
En lo que sigue, \( C \) es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evaluar la integral
\[ \int \sin^2(x) \, dx \]
Solución al Ejemplo 1:
La idea principal es usar la identidad \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) para reducir la potencia y hacer la integral fácilmente evaluada de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \)
\( = \displaystyle \dfrac{1}{2}\int dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \)
\( = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \)
Ejemplo 2
Evaluar la integral
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \]
Solución al Ejemplo 2:
Usa las fórmulas de reducción de potencia para reescribir la integral de la siguiente manera
\( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)
\(\displaystyle = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \)
\( \displaystyle = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \)
\( \displaystyle = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \)
\( \displaystyle = \dfrac{1}{2}[-9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x)] + C \)
