Resolver Problemas de Razón de Cambio en Cálculo
Problemas de razón de cambio de cálculo y sus soluciones detalladas se presentan a continuación.
Problema 1
Un tanque de agua rectangular (ver figura abajo) se está llenando a una velocidad constante de \(20\) litros / segundo. La base del tanque tiene dimensiones \(w = 1\) metro y \(L = 2\) metros. ¿Cuál es la razón de cambio de la altura del agua en el tanque? (expresa la respuesta en cm / seg).
Solución al Problema 1:
El volumen \(V\) de agua en el tanque está dado por:
\(V = w \times L \times H\)
Conocemos la razón de cambio del volumen \(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 20\) litros/seg.
Necesitamos encontrar la razón de cambio de la altura \(H\) del agua \(\dfrac{{dH}}{{dt}}\). \(V\) y \(H\) son funciones del tiempo.
Derivamos ambos lados de la fórmula del volumen anterior para obtener:
\(\dfrac{{dV}}{{dt}} = w \times L \times \dfrac{{dH}}{{dt}}\)
Nota que \(w\) y \(L\) no cambian con el tiempo y, por lo tanto, se consideran constantes en la operación de derivación anterior.
Ahora encontramos una fórmula para \(\dfrac{{dH}}{{dt}}\) de la siguiente manera:
\(\dfrac{{dH}}{{dt}} = \dfrac{{\dfrac{{dV}}{{dt}}}}{{w \times L}}\)
Necesitamos convertir litros a centímetros cúbicos y metros a centímetros:
\(1\) litro = \(1\) decímetro cúbico
\(= 1000\) centímetros cúbicos
\(= 1000\) cm³
y \(1\) metro = \(100\) centímetros.
Ahora evaluamos la razón de cambio de la altura \(H\) del agua:
\(\dfrac{{dH}}{{dt}} = \dfrac{{\dfrac{{dV}}{{dt}}}}{{w \times L}}\)
\(= \dfrac{{(20 \times 1000 \, \text{cm}^3/\text{seg})}}{{(100 \, \text{cm} \times 200 \, \text{cm})}}\)
\(= 1\) cm / seg.
Problema 2
Un avión vuela en línea recta y a una altura constante de \(5000\) metros (ver figura abajo). El ángulo de elevación del avión desde un punto de observación fijo es \(a\). La velocidad del avión es de \(500\) km / h. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo \(a\) cuando éste es de \(25\) grados? (Expresa la respuesta en grados / segundo y redondea a una décima).
Solución al Problema 2:
El avión vuela horizontalmente a una razón de \(\dfrac{{dx}}{{dt}} = 500\) km/h. Necesitamos una relación entre el ángulo \(a\) y la distancia \(x\). Usando trigonometría:
\( \tan \, a = \dfrac{{h}}{{x}}\)
Tanto el ángulo \(a\) como la distancia \(x\) son funciones del tiempo \(t\). Derivamos ambos lados de la fórmula anterior con respecto a \(t\):
\(\dfrac{{d(\tan \, a)}}{{dt}} = \dfrac{{d(\dfrac{{h}}{{x}})}}{{dt}}\)
Ahora usamos la regla de la cadena para expandir aún más los términos en la fórmula anterior:
\(\dfrac{{d(\tan \, a)}}{{dt}} = (\sec^2 \, a) \dfrac{{da}}{{dt}}\)
\(\dfrac{{d(\dfrac{{h}}{{x}})}}{{dt}} = h \left( \dfrac{{-1}}{{x^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}}\)
(nota: la altura \(h\) es constante)
Sustituimos lo anterior en la fórmula original para obtener:
\(( \sec^2 \, a) \dfrac{{da}}{{dt}} = h \left( \dfrac{{-1}}{{x^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}}\)
Lo anterior se puede escribir como:
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left[ h \left( \dfrac{{-1}}{{x^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}} \right] / ( \sec^2 \, a)\)
Ahora usamos la primera fórmula para encontrar \(x\) en términos de \(a\) y \(h\):
\(x = \dfrac{{h}}{{ \tan \, a}}\)
Sustituimos lo anterior en la fórmula para \(\dfrac{{da}}{{dt}}\) y simplificamos:
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left[ h \left( \dfrac{{- \tan^2 a}}{{h^2}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}} \right] / ( \sec^2 \, a)\)
\(= \left[ \left( \dfrac{{- \tan^2 a}}{{h}} \right) \dfrac{{dx}}{{dt}} \right] / (\sec^2 \, a)\)
Usamos la identidad trigonométrica \(\dfrac{\tan^2 a}{\sec^2 a} = \sin^2 a\):
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left( - \sin^2 a \right) \dfrac{ \dfrac{{dx}}{{dt}} }{h}\)
Usamos los valores para \(a\), \(h\) y \(\dfrac{{dx}}{{dt}}\) para aproximar \(\dfrac{{da}}{{dt}}\) con la conversión de unidades correcta: \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) y \(1 \, \text{hora} = 3600 \, \text{seg}\).
Primero convertimos \(\dfrac{dx}{dt}\) a m/seg: \( \dfrac{500 \times 1000}{3600} = \dfrac{500000}{3600} \approx 138.889 \, \text{m/seg}\)
\(\dfrac{{da}}{{dt}} = \left[ - \sin^2(25^{\circ}) \times \dfrac{138.889 \, \text{m/seg}}{5000 \, \text{m}} \right]\)
\(\sin(25^{\circ}) \approx 0.4226\), entonces \(\sin^2(25^{\circ}) \approx 0.1786\)
\(\dfrac{{da}}{{dt}} \approx -0.1786 \times 0.0277778 \approx -0.00496 \, \text{radianes/seg}\)
Convertimos radianes/seg a grados/seg: \( -0.00496 \times \left( \dfrac{180}{\pi} \right) \approx -0.00496 \times 57.2958 \approx -0.284 \, \text{grados/seg}\)
Redondeando a una décima: \(-0.3 \, \text{grados/seg}\)
Problema 3
Si dos resistores con resistencias \(R_1\) y \(R_2\) se conectan en paralelo como se muestra en la figura, su comportamiento eléctrico es equivalente a un resistor de resistencia \(R\) tal que:
\(\dfrac{{1}}{{R}} = \dfrac{{1}}{{R_1}} + \dfrac{{1}}{{R_2}}\)
Si \(R_1\) cambia con el tiempo a una razón \(r = \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\) y \(R_2\) es constante, expresa la razón de cambio \(\dfrac{{dR}}{{dt}}\) de la resistencia equivalente \(R\) en términos de \(\dfrac{{dR_1}}{{dt}}\), \(R_1\) y \(R_2\).
Solución al Problema 3:
Comenzamos derivando, con respecto al tiempo, ambos lados de la fórmula dada para la resistencia \(R\), notando que \(R_2\) es constante y \(\dfrac{{d(1/R_2)}}{{dt}} = 0\):
\(\left( \dfrac{{-1}}{{R^2}} \right) \dfrac{{dR}}{{dt}} = \left( \dfrac{{-1}}{{R_1^2}} \right) \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
Reordenamos lo anterior para obtener:
\(\dfrac{{dR}}{{dt}} = \left( \dfrac{{R}}{{R_1}} \right)^2 \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
De la fórmula \(\dfrac{{1}}{{R}} = \dfrac{{1}}{{R_1}} + \dfrac{{1}}{{R_2}}\), podemos escribir:
\(R = \dfrac{{R_1 \times R_2}}{{R_1 + R_2}}\)
Sustituimos \(R\) en la fórmula para \(\dfrac{{dR}}{{dt}}\) y simplificamos:
\(\dfrac{{dR}}{{dt}} = \left( \dfrac{{R_1 \times R_2}}{{R_1 \times (R_1 + R_2)}} \right)^2 \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
\(= \left( \dfrac{{R_2}}{{R_1 + R_2}} \right)^2 \dfrac{{dR_1}}{{dt}}\)
Ejercicios
1 - Encuentra una fórmula para la razón de cambio \(\dfrac{{dV}}{{dt}}\) del volumen de un globo que se está inflando, tal que su radio \(R\) aumenta a una velocidad igual a \(\dfrac{{dR}}{{dt}}\).
2 - Encuentra una fórmula para la razón de cambio \(\dfrac{{dA}}{{dt}}\) del área \(A\) de un cuadrado cuyo lado \(x\) centímetros cambia a una velocidad igual a \(2\) cm/seg.
3 - Dos autos comienzan a moverse desde el mismo punto en dos direcciones que forman un ángulo de \(90\) grados, a velocidades constantes de \(s_1\) y \(s_2\). Encuentra una fórmula para la razón de cambio de la distancia \(D\) entre los dos autos.
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
1 - \(\dfrac{{dV}}{{dt}} = 4 \times \pi \times R^2 \times \dfrac{{dR}}{{dt}}\)
2 - \(\dfrac{{dA}}{{dt}} = 4x \, \text{cm}^2/\text{seg}\)
3 - \(\dfrac{{dD}}{{dt}} = \dfrac{{s_1 \cdot x + s_2 \cdot y}}{{\sqrt{x^2 + y^2}}}\) (o equivalentemente, usando el teorema de Pitágoras, \(D^2 = x^2 + y^2\), y derivando: \(2D \dfrac{dD}{dt} = 2x \dfrac{dx}{dt} + 2y \dfrac{dy}{dt}\). Dado que \(\dfrac{dx}{dt} = s_1\) y \(\dfrac{dy}{dt} = s_2\), se tiene \(\dfrac{dD}{dt} = \dfrac{s_1 x + s_2 y}{D}\). Para una respuesta en términos de las velocidades constantes y la distancia inicial, la fórmula derivada es correcta en ese contexto). Una fórmula simplificada, aunque menos general, sería \(\dfrac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2}\) sólo si los autos parten del mismo punto y nos interesa la tasa instantánea en el momento inicial. La fórmula correcta general es la proporcionada originalmente.
Referencias y Enlaces
Problemas de cálculo