Resolver Problemas de Rectas Tangentes en Cálculo

Se presentan problemas de rectas tangentes y sus soluciones, utilizando la primera derivada.

Problema 1

Encuentra todos los puntos en la gráfica de \( y = x^3 - 3 x \) donde la recta tangente es paralela al eje x (o recta tangente horizontal).

Las rectas que son paralelas al eje x tienen pendiente = 0. La pendiente de una recta tangente a la gráfica de \( y = x^3 - 3 x \) está dada por la primera derivada \( y '\).

\( y ' = 3 x^2 - 3 \)

Ahora encontramos todos los valores de \( x \) para los cuales \( y ' = 0\).

\( 3 x^2 - 3 = 0\)

Resuelve la ecuación anterior para \( x \) para obtener las soluciones.

\( x = - 1 \) y \( x = 1\)

Los valores de x anteriores son las coordenadas x de los puntos donde las rectas tangentes son paralelas al eje x. Encuentra las coordenadas y de estos puntos usando \( y = x^3 - 3 x \).

para \( x = - 1 \) , \( y = 2\)

para \( x = 1 \) , \( y = - 2\)

Los puntos en los que las rectas tangentes son paralelas al eje x son: \( (-1 , 2) \) y \( (1 , -2) \). Observa la gráfica de \( y = x^3 - 3 x \) a continuación con las rectas tangentes.

Problema 2

Encuentra las constantes \( a \) y \( b \) para que la recta \( y = - 3 x + 4 \) sea tangente a la gráfica de \( y = a x^3 + b x \) en \( x = 1\).

Para encontrar \( a \) y \( b \), necesitamos determinar dos ecuaciones algebraicas en \( a \) y \( b \). El punto de tangencia está en la gráfica de \( y = a x^3 + b x \) y en la gráfica de \( y = - 3 x + 4\) en \( x = 1 \). Por lo tanto, las coordenadas y de \( y = a x^3 + b x \) y \( y = - 3 x + 4\) en \( x = 1 \) son iguales, lo que después de sustituir \( x = 1 \) da la ecuación

\( a \; (1)^3 + b \; (1) = - 3(1) + 4 \)

Simplifica la ecuación anterior en \( a \) y \( b \) para obtener

\( a + b = 1 \)

La pendiente de la recta tangente es igual a \( -3 \), que también es igual a la primera derivada \( y '\) de \( y = a x^3 + b x \) en \( x = 1\)

\( y ' = 3 a x^2 + x = - 3 \) en \( x = 1 \).

Sustituye \( x = 1 \) en \( 3 a x^2 + x = - 3 \) para obtener una segunda ecuación en \( a \) y \( b \)

\( 3 a + b = -3 \)

Utiliza cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones \( a + b = 1 \) y \( 3 a + b = - 3 \) obtenido anteriormente para hallar la solución:

\( a = - 2 \) y \( b = 3 \).

Observa las gráficas de \( y = a x^3 + b x \), con \( a = - 2\) y \( b = 3 \), y \( y = - 3 x + 4 \) a continuación.

Problema 3

Encuentra las condiciones sobre \( a \) y \( b \) para que la gráfica de \( y = a \; e^x + b \; x \) NO tenga ninguna recta tangente paralela al eje x (tangente horizontal).

• La pendiente de una recta tangente está dada por la primera derivada \( y ' \) de \( y = a \; e^x + b \; x \). Por lo tanto
• \( y ' = a \; e^x + b \)
• Para encontrar la coordenada x de un punto en el que la recta tangente a la gráfica de \( y\) es horizontal, resuelve \(y ' = 0 \) para x (la pendiente de una recta horizontal es igual a cero)
• \( a e^x + b = 0 \)
• Reescribe la ecuación anterior de la siguiente manera
• \( e^x = - b/a \)
• La ecuación anterior tiene soluciones para \( -a / b \gt 0 \). Por lo tanto, la gráfica de \( y = a \; e^x + b \; x \) NO tiene una recta tangente horizontal si \( - a/b \le 0 \)

Ejercicios

1) Encuentra todos los puntos en la gráfica de \( y = x^3 - 3 x \) donde la recta tangente es paralela a la recta cuya ecuación está dada por \( y = 9 x + 4 \).

2) Encuentra \( a \) y \( b \) para que la recta \( y = - 2 \) sea tangente a la gráfica de \( y = a x^2 + b x \) en \( x = 1\).

3) Encuentra las condiciones sobre \( a \), \( b \) y \( c \) para que la gráfica de \( y = a \; x^3 + b \; x^2 + c \; x \) tenga SOLO UNA recta tangente paralela al eje x (recta tangente horizontal).

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

1) \( (2 , 2) \) y \( (-2 , -2) \)

2) \( a = 2 \) y \( b = - 4 \)

3) \( 4 b^2 - 12 \; a \; c = 0 \)

Referencias y Enlaces