Ecuaciones Diferenciales - Método de Runge Kutta

Acerca del Método de Runge-Kutta

Esta es una herramienta interactiva para explorar el método numérico de Runge Kutta. Este método se utiliza para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales y es muy poderoso para resolver una amplia gama de problemas en ciencia e ingeniería.

Considere la ecuación diferencial:

y' = f(x, y) con y(x₀) = K (valor inicial)

Deseamos aproximar la solución en un intervalo [a, b]. Dividimos este intervalo en n subintervalos más pequeños de tamaño h. El método de Runge Kutta de 4º orden proporciona una aproximación de la siguiente manera:

Sea y₀ = K (valor inicial)
yᵢ₊₁ = yᵢ + (1/6)[k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄] para i = 0, 1, ..., n-1

donde:
k₁ = h·f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = h·f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₁/2)
k₃ = h·f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₂/2)
k₄ = h·f(xᵢ + h, yᵢ + k₃)

El error de truncamiento local es del orden O(h⁵) y en principio disminuye a medida que h disminuye.

Ecuaciones Utilizadas en esta Demostración

Tutorial

Todas las ecuaciones diferenciales en esta demostración tienen el mismo valor inicial y(0) = 1 y soluciones exactas para comparar.

  1. Seleccione la primera ecuación diferencial y' = x². Al inicio, h = 1.25 y n = 8.
  2. Examine las soluciones exacta (curva azul) y aproximada (puntos rojos) en el gráfico.
  3. Disminuya h aumentando n (o disminuya h directamente) y observe cómo mejora la aproximación.
  4. Seleccione las otras ecuaciones diferenciales y analice los resultados.
  5. Compare los valores exactos y aproximados en la tabla debajo del gráfico.

Calculadora de Runge-Kutta

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Resultados

Comparación entre la solución exacta y la aproximación de Runge-Kutta:

Paso (i) xᵢ yᵢ Aprox. y(xᵢ) Exacto Error k₁ k₂ k₃ k₄

Recursos Adicionales

Más referencias sobre ecuaciones diferenciales:

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales