Esta página muestra cómo usar la diferenciación para demostrar la identidad: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] para todos los valores de \( x \) en el dominio \([-1, 1]\).
Definimos la función: \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] Demostraremos que \( f(x) \) es constante calculando su derivada.
La derivada de \( f(x) \) es: \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \] Dado que \( f'(x) = 0 \) para todo \( x \in (-1, 1) \), la función \( f(x) \) es constante.
Para determinar el valor de esta constante, evaluamos \( f(x) \) en un punto específico. Usemos \( x = 0 \): \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \] Por lo tanto, \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] para todo \( x \in [-1, 1] \).
Para más ejemplos y aplicaciones de derivadas, visita nuestra página sobre aplicaciones de la diferenciación.