Cómo Encontrar Números Críticos de Funciones

Definición de Números Críticos

Un número \( a \) en el dominio de una función \( f \) se llama un número crítico de \( f \) si ya sea \[ f'(a) = 0 \quad \text{o} \quad f' \text{ no está definida en } x = a. \]

Ejemplo 1

Encuentra el(los) número(s) crítico(s) de la función polinomial \[ f(x) = x^{3} - 3x + 5. \]

Solución

El dominio de \( f \) son todos los números reales. Su derivada es \[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \] Dado que \( f' \) está definida en todas partes, resuelve \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \] Tanto \( x = 1 \) como \( x = -1 \) están en el dominio, por lo tanto son números críticos.

Ejemplo 2

Encuentra el(los) número(s) crítico(s) de la función valor absoluto \[ f(x) = |x - 2|. \]

Solución

El dominio son todos los números reales. Dado que \[ |u| = \sqrt{u^{2}} \quad \text{donde } u = x - 2, \] reescribe \( f \) como \[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \] Usando la regla de la cadena, la derivada es \[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \] Observa que \( f' \) no está definida en \( x = 2 \). Dado que \( 2 \) está en el dominio, es un número crítico.

Ejemplo 3

Encuentra los números críticos de una función \( f \) cuya derivada \( f' \) se muestra gráficamente abajo.

Solución

Los números críticos son \( x = 1, -2, -3 \) donde \( f'(x) = 0 \), y \( x = 0 \) donde \( f' \) no está definida.

Ejemplo 4

Encuentra los números críticos de la función racional \[ f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3}. \]

Solución

El dominio son todos los números reales excepto \( x = -3 \). Usando la regla del cociente, la derivada es \[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \] Igualando el numerador a cero, \[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0, \] entonces \( x = -7 \) o \( x = 1 \). Dado que \( f' \) no está definida en \( x = -3 \), pero \( -3 \notin \) dominio, no es un número crítico. Por lo tanto, los números críticos son \( x = -7 \) y \( x = 1 \).

Ejemplo 5

Encuentra el(los) número(s) crítico(s) de la función \[ f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3. \]

Solución

El dominio son todos los números reales. Su derivada es \[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \] La derivada no está definida en \( x = 2 \), que está en el dominio. Por lo tanto, \( x = 2 \) es un número crítico.

Ejercicios sobre Números Críticos

Encuentra los números críticos de las siguientes funciones:

1. \( f(x) = 2x^{3} + 6x - 13 \)
2. \( f(x) = |x + 4| + 3 \)
3. \( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
4. \( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
5. \( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)

Respuestas a los Ejercicios

1. \( 1, -1 \)
2. \( -4 \)
3. \( 3 \)
4. \( 0 \)
5. No tiene números críticos

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