Tutorial sobre cómo encontrar los números críticos de una función.
Definición
Un número a en el dominio de una función dada f se llama un número crítico de f si f '(a) = 0 o f ' es indefinida en x = a.
Ejemplo 1
Encuentra el o los números críticos de la función polinómica f dada por
f(x) = x 3 - 3x + 5
Solución al Ejemplo 1
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. La primera
derivada f ' está dada por
f '(x) = 3 x 2 - 3
f '(x) está definida para todos los números reales. Ahora resolvamos f '(x) = 0
3 x 2 - 3 = 0
x = 1 o x = -1
Dado que x = 1 y x = -1 están en el dominio de f, ambos son números críticos.
Ejemplo 2
Encuentra el o los números críticos de la función valor absoluto f dada por
f(x) = | x - 2 |
Solución al Ejemplo 2
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. Usemos el hecho de que √ (u 2) = | u | para reescribir la función f de la siguiente manera
f(x) = √ (u 2) , con u = x - 2
Usando la regla de la cadena, f '(x) está dada por
f '(x) = (1/2) 2 u u'(x) / | u |
Dado que u '(x) = 1, f '(x) se simplifica a
f '(x) = (x - 2) / | x - 2 |
f ' es indefinida en x = 2 y 2 está en el dominio de f. x = 2 es un número crítico de la función f dada arriba.
Ejemplo 3
Encuentra el o los números críticos de la función cuya primera derivada se muestra gráficamente abajo.
Solución al Ejemplo 3
1, -2 ,-3 y 0 son números críticos ya que f '(x) es igual a 0 en x = 1, -2, -3 y es indefinida en x = 0
Ejemplo 4
Encuentra el o los números críticos de la función racional f definida por
f(x) = (x 2 + 7 ) / (x + 3)
Solución al Ejemplo 4
Observa que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto -3. La primera derivada de f está dada por
x = -7 o x = 1
f '(x) es indefinida en x = -3 sin embargo x = -3 no está incluido en el dominio de f y no puede ser un número crítico. Los únicos números críticos de f son x = -7 y x = 1.
Ejemplo 5
Encuentra el o los números críticos de la función f definida por
f(x) = (x - 2) 2/3 + 3
Solución al Ejemplo 5
Observa que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales. La derivada de f es
f '(x) = (2/3)(x - 2) -1/3
= 2 / [ 3(x - 2) 1/3]
f ' es indefinida en x = 2 y dado que x = 2 está en el dominio de f, es un número crítico.
Ejercicios sobre Números Críticos Con Respuestas
Encuentra los números críticos de las funciones:
a) f(x) = 2x 3 + 6 x - 13
b) f(x) = | x + 4 | + 3
c) f(x) = (x - 3) 3 - 5
d) f(x) = x 1/3 + 2
e) f(x) = x / (x + 4)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
a) 1 , -1
b) -4
c) 3
d) 0
e) no hay números críticos
