Explorador interactivo de la función seno
Explora la función seno:
\[
f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x)
\]
Donde:
- a = amplitud (controla la altura de la onda)
- b = frecuencia (controla cuántos ciclos ocurren en 2π)
La primera derivada (usando la regla de la cadena) es:
\[
f'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x)
\]
(amplitud)
(frecuencia)
f(x) = a·sin(b·x) – Función seno
f'(x) = a·b·cos(b·x) – Primera derivada (coseno)
Recta tangente en el punto seleccionado
Valor actual de x (radianes):
-6.28
f(x) = a·sin(b·x) =
0.00
f'(x) = a·b·cos(b·x) =
1.00
Pendiente de la tangente:
1.00
Actividades de aprendizaje y guía de exploración
- Exploración básica: Haz clic en "Actualizar gráfica". Observa la curva azul (f(x)), la curva roja (f'(x)) y la recta tangente negra. Cambia los valores de a y b para ver cómo se transforman las gráficas.
- Extremos locales: Usa el deslizador para colocar la tangente en los puntos máximos o mínimos de la función seno. Observa que la pendiente es cero en esos puntos. ¿Cuánto vale f'(x) en esos puntos?
- Intervalos de crecimiento/decrecimiento:
- Comienza en un mínimo y ve al siguiente máximo. La función crece. ¿Cuál es el signo de f'(x) en este intervalo?
- Comienza en un máximo y ve al siguiente mínimo. La función decrece. ¿Cuál es el signo de f'(x) en este intervalo?
- Efecto de la amplitud (parámetro a): Cambia únicamente el parámetro a. ¿Cómo afecta tanto a f(x) como a f'(x)? Prueba a = 0.5, a = 1, a = 2. ¿Qué sucede con la pendiente máxima?
- Efecto de la frecuencia (parámetro b): Cambia únicamente b. Prueba b = 1, b = 2, b = 3, b = 4. ¿Cómo afecta a:
- El número de ciclos en el rango mostrado?
- El valor máximo de la derivada?
- La pendiente de la tangente en puntos similares?
- Puntos de pendiente cero: Encuentra puntos donde la recta tangente sea horizontal. Esto ocurre cuando f'(x) = 0. Para los valores por defecto (a=1, b=1), sucede en x = π/2, 3π/2, etc. ¿Cuánto vale f(x) en esos puntos?
- Puntos de pendiente máxima: Encuentra puntos donde la tangente sea más inclinada (pendiente absoluta máxima). Ocurre cuando |f'(x)| es máxima. Para los valores por defecto, sucede en x = 0, π, 2π, etc. ¿Cuánto vale f(x) en esos puntos?
- Investigación del período: El período de f(x) = a·sin(b·x) es 2π/b. Verifica esto contando ciclos completos entre x = -2π y x = 2π para distintos valores de b.
- Visualización de la regla de la cadena: Observa que f'(x) = a·b·cos(b·x). El factor 'b' aparece en la derivada por la regla de la cadena. ¿Cómo cambia b la amplitud de la derivada?
- Desfase (cambio de fase): Fija a = 1, b = 1 y observa dónde f(x) = 0. Ahora fija b = 2. ¿Dónde se anula f(x) ahora? ¿Cómo afecta la frecuencia a los ceros de la función?
- Exploración avanzada: Prueba valores negativos para a o b. ¿Qué sucede? ¿Puedes predecir el comportamiento antes de cambiar los valores?
Conceptos clave de cálculo demostrados
\[
\text{Pendiente de la recta tangente} = f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\]
Derivada de la función seno
Usando la regla de la cadena:
\[
\frac{d}{dx}[a \cdot \sin(b \cdot x)] = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x)
\]
Puntos críticos y extremos
Para f(x) = a·sin(b·x):
- Máximos locales ocurren cuando sin(b·x) = 1 ⇒ b·x = π/2 + 2πn
- Mínimos locales ocurren cuando sin(b·x) = -1 ⇒ b·x = 3π/2 + 2πn
- En esos puntos, f'(x) = a·b·cos(b·x) = 0
Criterio de la primera derivada
- Si f'(x) cambia de positiva a negativa en x₀, entonces f tiene un máximo local en x₀.
- Si f'(x) cambia de negativa a positiva en x₀, entonces f tiene un mínimo local en x₀.
- Para funciones seno, este patrón se repite periódicamente.
Periodicidad
Tanto f(x) como f'(x) son periódicas:
\[
\text{Período de } f(x) = \frac{2\pi}{|b|}, \quad \text{Período de } f'(x) = \frac{2\pi}{|b|}
\]