Introducción a los límites en cálculo

Se utilizan enfoques numéricos y gráficos para introducir el concepto de límites mediante ejemplos.

Aproximación numérica a los límites

Ejemplo 1

Sea f(x) = 2 x + 2 y calcule f(x) a medida que x toma valores más cercanos a 1. Primero consideramos los valores de x que se aproximan a 1 desde la izquierda (x < 1).
Tabla de valores de f(x) cuando x tiende a 1 desde la izquierda
Ahora consideramos que x se aproxima a 1 por la derecha (x > 1).

En ambos casos, cuando x tiende a 1, f(x) tiende a 4. Intuitivamente, decimos que lim_x→1 f(x) = 4.
NOTA: Estamos hablando de los valores que toma f(x) cuando x se acerca a 1 y no de f(1). De hecho, podemos hablar del límite de f(x) cuando x tiende a a incluso cuando f(a) no está definida.

Ejemplo 2

Sea g(x) = sen x / x y calcule g(x) a medida que x toma valores más cercanos a 0. Consideramos valores de x que se acercan a 0 por la izquierda (x < 0) y valores de x que se acercan a 0 por la derecha ( x > 0).

Tabla de valores de g(x) cuando x tiende a 0 por la izquierda y por la derecha

Aquí decimos que lim_x→0 g(x) = 1. Tenga en cuenta que g(0) no está definido.

Aproximación gráfica a los límites

Ejemplo 3

El siguiente gráfico muestra que cuando x tiende a 1 desde la izquierda, y = f(x) tiende a 2 y esto se puede escribir como
lim_x→1^- f(x) = 2
Cuando x tiende a 1 por la derecha, y = f(x) tiende a 4 y esto se puede escribir como
lim_x→1⁺ f(x) = 4
Tenga en cuenta que los límites izquierdo y derecho y f(1) = 3 son todos diferentes.

Ejemplo 4

Este gráfico muestra que
lim_x→1^- f(x) = 2
Cuando x tiende a 1 por la derecha, y = f(x) tiende a 4 y esto se puede escribir como
lim_x→1⁺ f(x) = 4
Tenga en cuenta que el límite izquierdo y f(1) = 2 son iguales.

Ejemplo 5

Este gráfico muestra que
lim_x→0^- f(x) = 1
y
lim_x→0⁺ f(x) = 1
Tenga en cuenta que los límites izquierdo y derecho son iguales y podemos escribir
lim_x→0 f(x) = 1
En este ejemplo, el límite cuando x tiende a 0 es igual a f(0) = 1.

Ejemplo 6

Este gráfico muestra que a medida que x se acerca a - 2 desde la izquierda, f(x) se vuelve cada vez más pequeño sin límite y no hay límite. Nosotros escribimos
lim_x→-2^- f(x) = - ∞
A medida que x se acerca a - 2 desde la derecha, f(x) se hace cada vez más grande sin límite y no hay límite. Nosotros escribimos
lim_x→-2⁺ f(x) = + ∞
Tenga en cuenta que - ∞ y + ∞ son símbolos y no números. Estos son símbolos que se utilizan para indicar que el límite no existe.

Ejemplo 7

El siguiente gráfico muestra una función periódica cuyo rango está dado por el intervalo [-1, 1]. Si se permite que x aumente sin límite, f(x) toma valores dentro de [-1, 1] y no tiene límite. esto se puede escribir
lim_{x→ + ∞} f(x) = no existe
Si se permite que x disminuya sin límite, f(x) toma valores dentro de [-1, 1] y no tiene límite nuevamente. esto se puede escribir
lim_{x→ - ∞} f(x) = no existe

Ejemplo 8

Si se permite que x aumente sin límite, f(x) en el siguiente gráfico se aproxima a 2. Esto se puede escribir
lim_{x→ + ∞} f(x) = 2
Si se permite que x disminuya sin límite, f(x) tiende a 2. Esto se puede escribir
lim_{x→ - ∞} f(x) = 2