Calcula \( \lim_{{x \to -2}} h(x) \) donde \( h(x) \) está dada por
\[ h(x) = x + 5 \]
Solución al Ejemplo 1:
Podemos considerar \( h(x) \) como la suma de \( f(x) = x \) y \( g(x) = 5 \) y aplicar el teorema 1 anterior
\[ \lim_{{x \to -2}} h(x) = \lim_{{x \to -2}} x + \lim_{{x \to -2}} 5 \]
\( x \) y \( 5 \) son funciones básicas y sus límites son conocidos.
\[ \lim_{{x \to -2}} x = -2 \]
y
\[ \lim_{{x \to -2}} 5 = 5 \]
Por lo tanto,
\[ \lim_{{x \to -2}} h(x) = -2 + 5 = 3 \]
Propiedad 2: El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus límites.
Calcula \( \lim_{{x \to -5}} m(x) \) donde \( m(x) \) está dada por
\[ m(x) = 3x \]
Solución al Ejemplo 3:
Sea \( m(x) = f(x) \times g(x) \), donde \( f(x) = 3 \) y \( g(x) = x \) y aplicamos el teorema 3 anterior
\[ \lim_{{x \to -5}} m(x) = \lim_{{x \to -5}} 3 \times \lim_{{x \to -5}} x \]
3 es una función constante y \( x \) también es una función básica con límites conocidos.
\[ \lim_{{x \to -5}} 3 = 3 \]
y
\[ \lim_{{x \to -5}} x = -5 \]
Por lo tanto,
\[ \lim_{{x \
to -5}} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]
Propiedad 4: El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites si el límite en el denominador no es igual a 0.
\[ \lim_{{x \to a}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\lim_{{x \to a}} f(x)}}{{\lim_{{x \to a}} g(x)}} \] ; si \( \lim_{{x \to a}} g(x) \) no es igual a cero.
Ejemplo 4
Calcula \( \lim_{{x \to 3}} r(x) \) donde \( r(x) \) está dada por
\[ r(x) = \frac{{3 - x}}{x} \]
Solución al Ejemplo 4:
Sea \( r(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \), donde \( f(x) = 3 - x \) y \( g(x) = x \) y aplicamos el teorema 4 anterior
\[ \lim_{{x \to 3}} r(x) = \frac{{\lim_{{x \to 3}} (3 - x)}}{{\lim_{{x \to 3}} x}} \]
\( 3 - x \) es la diferencia de dos funciones básicas y \( x \) también es una función básica.
\[ \lim_{{x \to 3}} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \]
y
\[ \lim_{{x \to 3}} x = 3 \]
Por lo tanto,
\[ \lim_{{x \to 3}} r(x) = \frac{{0}}{{3}} = 0 \]
Propiedad 5: El límite de la raíz n-ésima de una función es la raíz n-ésima del límite de la función, si la raíz n-ésima del límite es un número real.
\[ \lim_{{x \to a}} \sqrt[n]{{f(x)}} = \sqrt[n]{{\lim_{{x \to a}} f(x)}} \]. Si \( n \) es par, \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) tiene que ser positivo.
Ejemplo 5
Calcula \( \lim_{{x \to 5}} m(x) \) donde \( m(x) \) está dada por
\[ m(x) = \sqrt{{2x - 1}} \]
Solución al Ejemplo 5:
Sea \( f(x) = 2x - 1 \) y encuentra su límite aplicando los teoremas de diferencia y producto anteriores
\[ \lim_{{x \to 5}} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]
Ahora aplicamos el teorema 5 ya que la raíz cuadrada de 9 es un número real.
\[ \lim_{{x \to 5}} m(x) = \sqrt{{9}} = 3 \]
