Ajuste por Mínimos Cuadrados Lineales

¿Qué es el Ajuste por Mínimos Cuadrados Lineales?

Sea (x1, y1), (x2, y2)... (xN, yN) un conjunto de puntos de datos experimentales como se muestra en el diagrama de dispersión a continuación y supongamos que queremos predecir la variable dependiente y para diferentes valores de la variable independiente x usando un modelo lineal de la forma

y = a x + b


diagrama de dispersión de puntos de datos

Figura 1. diagrama de dispersión

Un procedimiento ampliamente utilizado en matemáticas es minimizar la suma D de los cuadrados de las distancias verticales d1, d2, ... entre el modelo matemático y = f(x) y los puntos experimentales como se muestra en el gráfico a continuación.

ajuste por mínimos cuadrados de un modelo a datos

Figura 2. Ajuste por mínimos cuadrados de un modelo a datos

Sea \( f(x) = a x + b \) el modelo lineal a utilizar. Por lo tanto, las distancias verticales \(d_1, d_2, ... \) están dadas por

\( d_1 = |y_1 - (a x_1 + b))| \) , \( d_2 = |y_2 - (a x_2 + b))| \) , ...

La suma D de los cuadrados de las distancias verticales d1, d2, ... puede escribirse como
\[ D = \sum_{i=1}^{N} (y_i - (a x_i + b))^2 \] Los valores de a y b que minimizan D son los valores que hacen que las derivadas parciales de D con respecto a a y b sean simultáneamente iguales a 0. Por lo tanto, primero calculamos las dos derivadas: \[ \dfrac {\partial D}{\partial a} = \sum_{i=1}^{N} - 2 x_i(y_i - a x_i - b) \] \[ \dfrac {\partial D}{\partial b } = \sum_{i=1}^{N} - 2 (y_i - a x_i - b) \] luego resolvemos para \( a \) y \( b \) el sistema de ecuaciones
\begin{cases} \sum_{i=1}^{N} - 2 x_i(y_i - a x_i - b) = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} - 2 (y_i - a x_i - b) = 0 \end{cases} Divida ambos lados de cada ecuación por - 2 y simplifique para reescribir el sistema de ecuaciones como
\begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_i(y_i - a x_i - b) = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} (y_i - a x_i - b) = 0 \end{cases} Es un sistema de ecuaciones con los dos desconocidos a y b. Expandir las sumas.
\begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - a \sum_{i=1}^{N} x_i x_i - \sum_{i=1}^{N} x_i b = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} y_i - a\sum_{i=1}^{N} x_i - \sum_{i=1}^{N} b = 0 \end{cases} Ahora reescribimos el sistema de ecuaciones con los términos que contienen a y b a la izquierda y todos los demás términos a la derecha de la siguiente manera
\begin{cases} a \sum_{i=1}^{N} x_i^2 + b \sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ a\sum_{i=1}^{N} x_i + b N = \sum_{i=1}^{N} y_i \end{cases} El sistema anterior en forma matricial se escribe como \[ \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \] El sistema anterior se puede resolver usando la matriz inversa de la siguiente manera \[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \] donde usamos la inversa de una matriz 2 por 2 para encontrar \[ \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix}^{ -1} = \dfrac{1}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \begin{bmatrix} N & - \sum_{i=1}^{N} x_i \\ - \sum_{i=1}^{N} x_i & \sum_{i=1}^{N} x_i^2 \end{bmatrix} \] Finalmente \[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \dfrac{1}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \begin{bmatrix} N & - \sum_{i=1}^{N} x_i \\ - \sum_{i=1}^{N} x_i & \sum_{i=1}^{N} x_i^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \] donde \[ a = \dfrac{N \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - (\sum_{i=1}^{N} x_i)(\sum_{i=1}^{N} y_i)} {N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \]
\[ b = \dfrac{ - (\sum_{i=1}^{N} x_i) (\sum_{i=1}^{N} x_i y_i) + (\sum_{i=1}^{N} x_i^2)( \sum_{i=1}^{N}y_i) } {N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \]

Ejemplo de Aplicación del Ajuste por Mínimos Cuadrados Lineales

Encuentra el ajuste por mínimos cuadrados lineales y = a x + b para los puntos de datos experimentales dados por: {(1 , 2) , (3 , 4) , (2 , 6) , (4 , 8) , (5 , 12) , (6 , 13) , (7 , 15)}
Solución
Configura una tabla con las cantidades incluidas en las fórmulas anteriores para m y b.
\(x_i\) \(y_i\) \(x_i\) \(y_i\) \(x_i^{2}\)
1 2 2 1
3 4 12 9
2 6 12 4
4 8 32 16
5 12 60 25
6 13 78 36
7 15 105 49

El número total de puntos es N = 7.

\( \sum_{i=1}^{7} x_i \) = 1 + 3 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

\( \sum_{i=1}^{7} y_i \) = 2 + 4 + 6 + 8 + 12 + 13 + 15 = 60

\( \sum_{i=1}^{7} x_iy_i \) = 2 + 12 + 12 + 32 + 60 + 78 + 105 = 301

\( \sum_{i=1}^{7} x_i^2 \) = 1 + 9 + 4 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140

Sustituye para obtener

\( a = \dfrac{7 \times 301 - 28 \times 60} {7 \times 140 - 28^2} = 2.17857142857 \)

\( b = \dfrac{ - 28 \times 301 + 140 \times 60 } {7 \times 140 - 28^2} = -0.14285714285 \)

Calculadora de Ajuste por Mínimos Cuadrados Lineales

Dado puntos experimentales, esta calculadora calcula los coeficientes a y b y por lo tanto la ecuación de la línea y = a x + b y la correlación. También traza los puntos experimentales y la ecuación y = a x + b donde a y b son dados por las fórmulas anteriores.
Ingresa los puntos experimentales (x1, y1), (x2, y2)... (xN, yN) separados por comas, verifica los datos ingresados y luego presiona "Calcular y Graficar". Si ya tienes datos formateados como puntos separados por comas, puedes copiarlos y pegarlos en el área de texto de entrada a continuación.
Ingresa Valores de Datos: (x1, y1), (x2, y2)... (xN, yN) =
Decimales =


    
    
Pasa el cursor del ratón en la parte superior derecha y puedes usar la opción de descargar el gráfico en formato png.

Más Referencias y Enlaces