Dada la función \( f \) con variables \( x \), \( y \) y \( z \), y \( x \), \( y \) y \( z \) siendo funciones de \( t \), la derivada de \( f \) respecto a \( t \) se da por la regla de la cadena multivariable, que es una suma del producto de derivadas parciales
y derivadas como sigue:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt}} \]
Ejemplos sobre el Uso de la Fórmula de la Cadena Multivariable
Ejemplo 1
\( U \) es una función de \( x \), \( y \) y \( z \) dada por
\[ U = e^{xy} - \dfrac{1}{z} \]
\( x \), \( y \) y \( z \) son funciones de \( t \):
\[ x = 2 t^2 + t, \quad y = 2 + \ln (t) , \quad z = t - 2 \]
Encuentra
\( \dfrac{dU}{dt} \)
Solución
Primero usamos la regla de la cadena multivariable para encontrar dU/dt
\[
\dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt}
\]
Luego calculamos cada término en la fórmula anterior
\[
\dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy} \;\; , \;\; \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy} \;\; , \;\; \dfrac{\partial U}{\partial z} = - 1 / z^2 \;\; , \;\; \dfrac{dx}{dt} = 4 t + 1 \\\\ \dfrac{dy}{dt} = 1 / t \;\; , \;\; \dfrac{dz}{dt} = 1
\]
y sustituimos
\[
\dfrac{dU}{dt} = y e^{xy} (4 t + 1) + x e^{xy} (1/t) - 1 / z^2 (1) \\\\
= (4 t y + y + x/t)e^{(2 t^2 + t)(2 + \ln (t) )} - \dfrac{1}{(t - 2)^2} \\\\
= (4 t \ln (t)) + \ln (t) + 10t + 3)e^{(2 t^2 + t)(2 + \ln (t) )} - \dfrac{1}{(t - 2)^2}
\]
Extensión de la regla de la cadena
Dada la función \( f \) con variables \( x \) y \( y \), y \( x \) y \( y \) siendo funciones de \( t \) y \( r \), las derivadas parciales de \( f \) respecto a \( t \) y \( r \) se dan por la regla de la cadena multivariable extendida como sigue:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t}} \]
\[ \Large \color{red}{\dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} } \]
Ejemplo 2
\( W \) es una función de \( x \) y \( y \) dada por
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]
\( x \) y \( y \) son funciones de \( r \) y \( \theta \) dadas por
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]
Encuentra
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r}, \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \]
con \( r \ge 0 \) y \( 0 \le \theta \le 2\pi \)
Solución
Primero escribimos la regla de la cadena multivariable extendida para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial r} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]
Luego calculamos todos los términos en las dos fórmulas anteriores:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \]
\[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \]
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]
Ahora sustituimos y simplificamos para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial r} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) = 1 \]
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (- r \sin(\theta)) + \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) = 0 \]
Nota
Todo lo anterior podría haberse hecho primero simplificando \( W \) de la siguiente manera
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = r \]
lo que fácilmente da
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = 1 \quad \text{y} \quad \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0 \]
Por supuesto, el propósito del ejemplo era mostrar cómo aplicar la regla de la cadena multivariable extendida
Ejemplo 3
\( W \) es una función de \( x \) y \( y \) dada por
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]
\( x \) y \( y \) son funciones de \( u \) y \( v \) dadas por
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]
Encuentra
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u}, \dfrac{\partial W}{\partial v} \]
Solución
La regla de la cadena multivariable extendida se utiliza para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \]
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]
Calculamos todos los términos incluidos en \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \) arriba:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \dfrac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \]
\[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \dfrac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \]
\[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]
Ahora sustituimos y simplificamos para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \) arriba:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\dfrac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\dfrac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \]
\[ = (2u + 1) \dfrac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\dfrac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\dfrac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \]
\[ = (2v + 1) \dfrac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]
Aplicaciones de la Regla de la Cadena Multivariable
Ejemplo 4
El volumen de un sólido rectangular de dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) se da por la fórmula
\[ V = LWH \]
Encuentra la tasa (en \( \text{cm}^3/\text{s} \)) a la que cambia el volumen \( V \) cuando la longitud \( L \) es de 50 cm y aumenta a una tasa de 0.2 cm por segundo, el ancho \( W \) es de 40 cm y aumenta a una tasa de 0.1 cm por segundo, y la altura \( H \) es de 30 cm y disminuye a una tasa de 0.1 cm por segundo.
Solución
Las dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) cambian con el tiempo, por lo tanto, el volumen \( V \) también cambia con el tiempo. Se utiliza la regla de la
cadena para encontrar \( \dfrac{dV}{dt} \):
\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]
Los términos en la expresión anterior se dan por
\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0.2 \]
\[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0.1 \]
\[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0.1 \]
Ahora evaluamos \( \dfrac{dV}{dt} \):
\[ \dfrac{dV}{dt} = WH \cdot 0.2 + LH \cdot 0.1 + LW \cdot (-0.1) = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]
Ejemplo 5
La resistencia equivalente \( R \) de dos resistencias en paralelo con resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) se da por
\[ R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]
Las resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) cambian con la temperatura \( T \) de la siguiente manera:
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]
donde \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \), \( T_0 \) son constantes.
Encuentra la tasa de cambio \( \dfrac{dR}{dT} \).
Solución
\( \dfrac{dR}{dT} \) se da por la regla de la cadena de la siguiente manera:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]
Calculamos los términos en la expresión anterior:
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \dfrac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \]
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \dfrac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]
Sustituimos los términos en \( \dfrac{dR}{dT} \):
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}R_{10} \alpha + \dfrac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}R_{20} \beta \]
\[ = \dfrac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]
