Dada una función \( f \) con variables \( x \), \( y \) y \( z \), siendo \( x \), \( y \) y \( z \) funciones de \( t \), la derivada de \( f \) con respecto a \( t \) se obtiene mediante la regla de la cadena multivariable. Esta es una suma del producto de derivadas parciales y derivadas ordinarias, de la siguiente manera:
\[ \Large \color{red}{\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}} \]\( U \) es una función de \( x \), \( y \) y \( z \) dada por
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]\( x \), \( y \) y \( z \) son funciones de \( t \):
\[ x = 2 t^2 + t, \quad y = 2 + \ln (t) , \quad z = t - 2 \]Encuentra \( \dfrac{dU}{dt} \).
Primero, usamos la regla de la cadena multivariable para encontrar \( \frac{dU}{dt} \):
\[ \frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z}\frac{dz}{dt} \]A continuación, calculamos cada término en la fórmula anterior:
\[ \frac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy} \;\; , \;\; \frac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy} \;\; , \;\; \frac{\partial U}{\partial z} = - 1 / z^2 \;\; , \;\; \frac{dx}{dt} = 4 t + 1 \\\\ \frac{dy}{dt} = 1 / t \;\; , \;\; \frac{dz}{dt} = 1 \]y sustituimos:
\[ \frac{dU}{dt} = y e^{xy} (4 t + 1) + x e^{xy} (1/t) - 1 / z^2 (1) \\\\ = (4 t y + y + x/t)e^{(2 t^2 + t)(2 + \ln (t) )} - \frac{1}{(t - 2)^2} \\\\ = (4 t \ln (t) + \ln (t) + 10t + 3)e^{(2 t^2 + t)(2 + \ln (t) )} - \frac{1}{(t - 2)^2} \]Dada una función \( f \) con variables \( x \) y \( e \), siendo \( x \) y \( y \) funciones de \( t \) y \( r \), las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( t \) y \( r \) se obtienen mediante la regla de la cadena multivariable extendida de la siguiente manera:
\[ \Large \color{red}{\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}} \] \[ \Large \color{red}{\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} } \]\( W \) es una función de \( x \) y \( y \) dada por
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]\( x \) y \( y \) son funciones de \( r \) y \( \theta \) dadas por
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]Encuentra \( \frac{\partial W}{\partial r} \) y \( \frac{\partial W}{\partial \theta} \), con \( r \ge 0 \) y \( 0 \le \theta \le 2\pi \).
Primero, escribimos la regla de la cadena multivariable extendida para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial r} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \):
\[ \frac{\partial W}{\partial r} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} \] \[ \frac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} \]A continuación, calculamos todos los términos en las dos fórmulas anteriores:
\[ \frac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \frac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]Ahora sustituimos y simplificamos para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial r} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial \theta} \):
\[ \frac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) = 1 \] \[ \frac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (- r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) = 0 \] NotaTodo lo anterior podría haberse hecho simplificando primero \( W \) de la siguiente manera:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = r \]lo que fácilmente da \( \frac{\partial W}{\partial r} = 1 \) y \( \frac{\partial W}{\partial \theta} = 0 \).
Por supuesto, el propósito del ejemplo era mostrar cómo aplicar la regla de la cadena multivariable extendida.
\( W \) es una función de \( x \) y \( y \) dada por
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]\( x \) y \( y \) son funciones de \( u \) y \( v \) dadas por
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]Encuentra \( \frac{\partial W}{\partial u} \) y \( \frac{\partial W}{\partial v} \).
Se utiliza la regla de la cadena multivariable extendida para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \):
\[ \frac{\partial W}{\partial u} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \] \[ \frac{\partial W}{\partial v} = \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial W}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \]A continuación, calculamos todos los términos incluidos en \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \) anteriores:
\[ \frac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \frac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \frac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \frac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \frac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = 1 \]Ahora sustituimos y simplificamos para encontrar \( \dfrac{\partial W}{\partial u} \) y \( \dfrac{\partial W}{\partial v} \):
\[ \frac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \] \[ \frac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]El volumen de un sólido rectangular de dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) viene dado por la fórmula
\[ V = LWH \]Encuentra la tasa (en \( \text{cm}^3/\text{s} \)) a la que el volumen \( V \) está cambiando cuando la longitud \( L \) es 50 cm y aumenta a razón de 0.2 cm por segundo, el ancho \( W \) es 40 cm y aumenta a razón de 0.1 cm por segundo, y la altura \( H \) es 30 cm y disminuye a razón de 0.1 cm por segundo.
Las dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) cambian con el tiempo, por lo tanto, el volumen \( V \) también cambia con el tiempo. Se utiliza la regla de la cadena para encontrar \( \dfrac{dV}{dt} \):
\[ \frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial L}\frac{dL}{dt} + \frac{\partial V}{\partial W}\frac{dW}{dt} + \frac{\partial V}{\partial H}\frac{dH}{dt} \]Los términos en la expresión anterior son:
\[ \frac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \frac{dL}{dt} = 0.2 \] \[ \frac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \frac{dW}{dt} = 0.1 \] \[ \frac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \frac{dH}{dt} = -0.1 \]Ahora evaluamos \( \dfrac{dV}{dt} \):
\[ \frac{dV}{dt} = WH \cdot 0.2 + LH \cdot 0.1 + LW \cdot (-0.1) = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]La resistencia equivalente \( R \) de dos resistencias en paralelo con resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) está dada por
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]Las resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) cambian con la temperatura \( T \) de la siguiente manera:
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]donde \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \) y \( T_0 \) son constantes.
Encuentra la tasa de cambio \( \dfrac{dR}{dT} \).
\( \dfrac{dR}{dT} \) se obtiene mediante la regla de la cadena de la siguiente manera:
\[ \frac{dR}{dT} = \frac{\partial R}{\partial R_1}\frac{dR_1}{dT} + \frac{\partial R}{\partial R_2}\frac{dR_2}{dT} \]Calculamos los términos en la expresión anterior:
\[ \frac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \frac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \frac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \frac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]Ahora sustituimos los términos en \( \dfrac{dR}{dT} \):
\[ \frac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}R_{10} \alpha + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}R_{20} \beta \] \[ = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]