Se presentan problemas universitarios de álgebra sobre las ecuaciones de
hipérbolas.
Las soluciones detalladas se encuentran en la parte inferior de la página.
Problema 1
Encuentre el eje transversal, el center, los focos y los vértices de la hipérbola cuya ecuación es
x 2 / 4 - y 2 / 9 = 1
Problema 2
Encuentre el eje transversal, el center, los focos y los vértices de la hipérbola cuya ecuación es
16 y 2 - x 2 = 16
Problema 3
Encuentre la ecuación de una hipérbola que tiene el eje y como eje transversal, un center en (0 , 0) y pasa por los puntos (0 , 5) y (2 , 5√2).
Problema 4
Encuentra la ecuación de una hipérbola cuyos vértices están en (0 , -3) y (0 , 3) y tiene un foco en (0 , 5).
Problema 5
Encuentra las asíntotas de las parábolas dadas por las ecuaciones:
a) x 2 / 4 - y 2 / 36 = 1
b) y 2 - 49 x 2 = 49
Problema 6
Encuentra la ecuación de una hipérbola con vértices en (0 , -7) y (0 , 7) y asíntotas dadas por las ecuaciones y = 3x e y = - 3x.
Problema 7
Encuentre la ecuación de una hipérbola con focos en (-2 , 0) y (2 , 0) y asíntotas dadas por la ecuación y = x e y = -x.
Problema 8
Escribe la ecuación de una hipérbola con focos en (-1 , 0) y (1 , 0) y una de sus asíntotas pasa por el punto (1 , 3).
Problema 9
Escribe la ecuación de una hipérbola con el eje x como eje transversal, el punto (3 , 1) se encuentra en la gráfica de esta hipérbola y el punto (4 , 2) se encuentra en la asíntota de esta hipérbola.
Problema 10
Encuentra la ecuación de cada parábola que se muestra a continuación. Las gráficas en b) yc) también muestran las asíntotas.
a)
.
Figura 1. Gráfica de la hipérbola a)
b)
.
Figura 2. Gráfica de la hipérbola b)
C)
.
Figura 3. Gráfica de la hipérbola c)
Soluciones a los problemas anteriores
Solución al problema 1
Eje transversal: eje x o y = 0
centrar en (0 , 0)
vértices en (2 , 0) y (-2 , 0)
c 2 = 4 + 9 = 13. Los focos están en (√13 , 0) y (-√13 , 0).
Solución al problema 2
Divida todos los términos de la ecuación dada por 16, lo que se convierte en y 2 - x 2 / 16 = 1
Eje transversal: eje y o x = 0
centrar en (0 , 0)
vértices en (0 , 1) y (0 , -1)
c 2 = 1 + 16 = 17. Los focos están en (0 , √17) y (0 , -√17).
Solución al problema 3
Dado que el eje y es el eje transversal, la ecuación tiene la forma y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Usa el punto (0 , 5) para escribir: (5) 2 / a 2 = 1 y encuentra a 2 = 25.
Usa el segundo punto para escribir (5√2) 2 / 25 - 2 2 / b 2 = 1 y encontrar b 2 = 4
La ecuación viene dada por: y 2 / 25 - x 2 / 4 = 1
Solución al problema 4
Como los vértices están en (0 , -3) y (0 , 3), el eje transversal es el eje y y el centro está en (0,0). La ecuación tiene la forma: y 2 / 9 - x 2 / b 2 = 1, a 2 = 9.
El foco está en (0 , 5), por lo tanto c = 5. Ahora usamos la fórmula c 2 = a 2 + b 2 para encontrar b 2 = 25 - 9 = 16
La ecuación se puede escribir como: y 2 / 9 - x 2 / 16 = 1
Solución al problema 5
a) y = 3x y y = -3x
b) y = 7x y y = -7x
Solución al problema 6
Como los vértices están en (0 , -7) y (0 , 7), el eje transversal de la hipérbola es el eje y, el centro está en (0 , 0) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma y< sup> 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1 con a 2 = 49. La asíntota está dada por y = ± (a/b)x, por lo tanto a/b = 3, lo que da a 2 = 9 b 2.
Dado que a 2 = 49, 9 b 2 = 49 y b 2 = 49/9
La ecuación de la hipérbola viene dada por: y 2 / 49 - 9 x 2 / 49 = 1
Solución al problema 7
Como los focos están en (-2 , 0) y (2 , 0), el eje transversal de la hipérbola es el eje x, el centro está en (0 , 0) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 con c 2 = 4 = a 2 + b 2
La asíntota está dada por y = ± (b/a)x, por lo tanto a/b = 1, lo que da a 2 = b 2.
Resuelve las dos ecuaciones 4 = a 2 + b 2 y a 2 = b 2 para encontrar: a< sup>2 = 2 y b 2 = 2.
La ecuación de la hipérbola viene dada por: x 2 / 2 - y 2 / 2 = 1
Solución al problema 8
Como los focos están en (-1 , 0) y (1 , 0), el eje transversal de la hipérbola es el eje x, el centro está en (0,0) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 con c 2 = 1 2 = a 2 + b 2
La asíntota está dada por y = (b/a)x, por lo tanto a/b = 3/1 = 3, lo que da a 2 = 9 b 2.
Resuelve ambas ecuaciones: 1 = a 2 + b 2 y a 2 = 9 b 2.
Resuelve para encontrar: b 2 = 1/10 y a 2 = 9/10
La ecuación de la hipérbola viene dada por: (10/9) x 2 / - 10 y 2 / b 2 = 1
Solución al problema 9
La ecuación de la hipérbola tiene la forma: x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1
Utilice el punto (3 , 1) para escribir: 3 2 / a 2 - 1 2 / b 2 = 1
La asíntota tiene la forma: y = ± (b/a)x, usando el punto (4,2) que se encuentra en la asíntota escribimos: b/a = 2/4 = 1/2 o 4 b 2 = un 2
Resuelve las dos ecuaciones para encontrar: a 2 = 5 y b 2 = 5/4
La ecuación de la hipérbola tiene la forma: x 2 / 5 - y 2 / (5/4) = 1
Solución al problema 10
a)
Los vértices en (-1 , 0) y (1 , 0) y el punto (- 3 , 2) se encuentran en la hipérbola.
Ecuación: x 2 - y 2 / 0,5 = 1
b)
Los vértices en (-2 , 0) y (2 , 0) y el punto (2 , 2) se encuentran en una asíntota.
Ecuación: x 2 / 4 - y 2 / 4 = 1
C)
Vértices en (0 , 0,5) y (0 , -0,5) y asíntota y = x/6.
Ecuación: y 2 / 0,25 - x 2 / 9 = 1
.
.
.
