Función Coseno

Definición y Gráfica de la Función Coseno

El ángulo \( \theta \) es un ángulo en posición estándar con lado inicial en el eje x positivo y lado terminal en OM, como se muestra a continuación.

Ángulo en posición estándar.
La función coseno \( \cos(\theta) \) se define por
\( \cos(\theta) = \dfrac{x}{r} \)
donde \( r \) es la distancia de OM, donde O es el origen del sistema de coordenadas rectangular y M es cualquier punto en el lado terminal del ángulo \( \theta \) y está dado por
\( r = \sqrt{x^2+y^2} \)

Si el punto M en el lado terminal del ángulo \( \theta \) es tal que OM = r = 1, podemos usar un círculo con radio igual a 1 llamado círculo unitario para evaluar la función seno de la siguiente manera:
\( cos(\theta) = x / r = x / 1 = x\) : \( \cos(\theta) \) es igual a la coordenada x de un punto en el lado terminal de un ángulo en posición estándar ubicado en el círculo unitario.

No se necesita calculadora para encontrar \( \cos(\theta) \) para los ángulos cuadrantales: \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, ... \) como se muestra en el círculo unitario a continuación:
Las coordenadas del punto en el círculo unitario correspondiente a \( \theta = 0 \) son: (1,0). La coordenada x es igual a 1, por lo tanto \( \cos(0) = 1\)
Las coordenadas del punto en el círculo unitario correspondiente a \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) en el círculo unitario son: (0,1). La coordenada x es igual a 0, por lo tanto \( \cos(\dfrac{\pi}{2}) = 0\)
y así sucesivamente.

Círculo unitario.
Coloquemos ahora los valores de los ángulos cuadrantales \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} , 2\pi \) y los valores de su coseno en una tabla como se muestra a continuación.

\( \theta \) \( \cos(\theta) \)
\( 0 \) \( 1 \)
\( \dfrac{\pi}{2} \) \( 0 \)
\( \pi \) \( -1 \)
\( \dfrac{3\pi}{2} \) \( 0 \)
\( 2\pi \) \( 1 \)


Ahora graficamos los puntos en la tabla anterior en un sistema de ejes rectangulares \( (x,y) \) y aproximamos la gráfica de la función coseno como se muestra a continuación.

NOTA que estamos acostumbrados a que \( x \) sea la variable de una función, \( x \) en la gráfica toma valores de \( \theta \) e y toma los valores de \( \cos(\theta) \) lo cual se denota como \( y = \cos(x) \).
Después de \( 2\pi \), los valores de \( \cos(\theta) \) se repetirán en los ángulos coterminales. Decimos que la función coseno tiene un período de \( 2\pi \) que se muestra a continuación en rojo.

Gráfica de cos(x) en un sistema de ejes rectangular.

Función Coseno General

Ahora exploramos interactivamente la función coseno general

\( f(x) = a \cos(b x + c) + d \)

y sus propiedades como:
amplitud = \( |a| \)
período = \( \dfrac{2\pi}{|b|} \)
desfase = \( -\dfrac{c}{b} \)
cambiando los parámetros \( a, b, c \) y \( d \).

Una exploración particular del desfase se presenta graficando

\( f(x) = a \cos(bx + c) + d \) en azul

y

\( f(x) = a \cos(bx) + d \) en rojo (c = 0 y sin desfase)

como se muestra en la siguiente figura.

Función coseno con y sin desfase


También puedes considerar otro tutorial sobre el círculo unitario trigonométrico.

Una vez que termines el tutorial actual, puedes realizar una autoevaluación sobre gráficas trigonométricas.

Tutorial Interactivo sobre la Función Coseno General

\( f(x) = a \cos(bx + c) + d \) en azul

\( f(x) = a \cos(bx) + d \) en rojo (c = 0 y sin desfase)


Presiona el botón "dibujar" para comenzar a graficar funciones coseno.

a =
b =
c =
d =

¿Explora cómo los 4 coeficientes a, b, c y d afectan la gráfica de f(x)?

  1. Amplitud

    Establece a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0. Anota \( f(x) \) y observa la amplitud, el período y el desfase (definidos arriba) de f(x).
    Ahora cambia a, ¿cómo afecta esto a la gráfica?

  2. Período

    Establece a = 1, c = 0, d = 0 y cambia b. Encuentra el período a partir de la gráfica y compáralo con \( \dfrac{2\pi}{|b|} \). ¿Cómo afecta \( b \) al período de f(x)?

  3. Desfase

    Establece a = 1, b = 1, d = 0 y cambia c comenzando desde cero y aumentando lentamente a valores positivos grandes. Observa el desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha?, y compáralo con \( - c / b \).
  4. Establece a = 1, b = 1, d = 0 y cambia c comenzando desde cero y disminuyendo lentamente a valores negativos pequeños. Observa el desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha?, y compáralo con \( - c / b \).
  5. Repite los pasos 3 y 4 para b = 2, 3 y 4.

  6. Desplazamiento Vertical

    Establece a, b y c con valores distintos de cero y cambia d. ¿Cuál es la dirección del desplazamiento de la gráfica cuando d es positivo y cuando d es negativo?

Más Referencias Relacionadas con Funciones Coseno

Propiedades de las Funciones Trigonométricas
Gráficas de Funciones Trigonométricas Básicas
Círculo Unitario y Funciones Trigonométricas sin(x), cos(x), tan(x)