El ángulo \( \theta \) es un ángulo en posición estándar con el lado inicial en el eje x positivo y el lado terminal en OM como se muestra a continuación.
La función coseno \( \cos(\theta) \) está definida por
\( \cos(\theta) = \dfrac{x}{r} \)
donde \( r \ \) es la distancia de OM donde O es el origen del sistema de coordenadas rectangular y M es cualquier punto en el lado terminal del ángulo \( \theta \) y está dado por
\( r = \sqrt{x^2+y^2} \)
Si el punto M en el lado terminal del ángulo \( \theta \) es tal que OM = r = 1, podemos usar un círculo con radio igual a 1 llamado círculo unitario para evaluar la función seno como sigue:
\( cos(\theta) = x / r = x / 1 = x\) : \( \cos(\theta) \) es igual a la coordenada x de un punto en el lado terminal de un ángulo en la posición estándar ubicada en el círculo unitario.
No se necesita calculadora para encontrar \( \cos(\theta) \) para los ángulos cuadrantales: \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, ... \) como se muestra en el círculo unitario a continuación :
Las coordenadas del punto del círculo unitario correspondiente a \( \theta = 0 \) son: (1,0). La coordenada x es igual a 1, por lo tanto \( \cos(0) = 1\)
Las coordenadas del punto en el círculo unitario correspondiente a \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) en el círculo unitario son: (0,1). La coordenada x es igual a 0, por lo tanto \( \cos(\dfrac{\pi}{2}) = 0\)
etcétera.
Pongamos ahora los valores de los ángulos cuadrantales ángulos \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} , 2\pi \) y los valores de su coseno en una mesa como se muestra a continuación.
\( \theta \)
\( \cos(\theta) \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( \dfrac{\pi}{2} \)
\( 0 \)
\( \pi \)
\( -1 \)
\( \dfrac{3\pi}{2} \)
\( 0 \)
\( 2\pi \)
\( 1 \)
Ahora trazamos los puntos en la tabla anterior en un sistema de ejes rectangulares \( (x,y) \) y aproximamos la gráfica de la función coseno como se muestra a continuación.
NOTA que estamos acostumbrados a que \( x \) sea la variable de una función, \( x \) en la gráfica toma valores de \( \theta \) y y toma los valores de \( \cos(\theta) \) que se anota como \( y = \cos(x) \).
Después de \( 2\pi \), los valores de \( \cos(\theta) \) se repetirán en los ángulos coterminales. Decimos que la función coseno tiene un período de \( 2\pi \) que se muestra a continuación en rojo.
Función coseno general
Ahora exploramos interactivamente la función coseno general.
\( f(x) = a \cos(b x + c) + d \)
y sus propiedades como
amplitud = \( |a| \)
periodo = \( \dfrac{2\pi}{|b|} \)
cambio de fase = \( -\dfrac{c}{b} \)
cambiando los parámetros \( a, b, c \) y \( d \).
Una exploración particular del cambio de fase se presenta trazando
\( f(x) = a \cos(bx + c) + d \) en azul
and
\( f(x) = a \cos(bx) + d \) en rojo (c = 0 y sin cambio de fase)
Tutorial interactivo sobre la función coseno general
\( f(x) = a \cos(bx + c) + d \) en azul
\( f(x) = a \cos(bx) + d \) en rojo (c = 0 y sin cambio de fase)
Presione el botón "draw" para comenzar a graficar funciones cosenos.
¿Explora cómo los 4 coeficientes a, b, cy d afectan la gráfica de f(x)?
Amplitud
Establezca a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0. Escriba \( f(x) \) y tome nota de la amplitud, el período y el cambio de fase (definido anteriormente) de f(x).
Ahora cambia a, ¿cómo afecta a la gráfica?
Punto
Establezca a = 1, c = 0, d = 0 y cambie b. Encuentra el período en la gráfica y compáralo con \( \dfrac{2\pi}{|b|} \). ¿Cómo afecta \( b \) el período de f(x)?
Cambio de fase
establezca a = 1, b = 1, d = 0 y cambie c comenzando desde cero y avanzando lentamente hacia valores positivos grandes. Tome nota del desplazamiento, si es hacia la izquierda o hacia la derecha, y compárelo con \( - c / b \).
establezca a = 1, b = 1, d = 0 y cambie c comenzando desde cero y yendo lentamente a valores negativos más pequeños. Tome nota del desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha, y compárelo con
\(-c/b\).
repita 3 y 4 anteriores para b = 2, 3 y 4.
Desplazamiento vertical
establezca a, b y c en valores distintos de cero y cambie d. ¿Cuál es la dirección del desplazamiento de la gráfica cuando d es positivo y cuando d es negativo?