Esta página presenta un estudio detallado de las funciones exponenciales utilizando tablas de valores y gráficas. Se discuten propiedades clave como el dominio, el rango, las asíntotas horizontales y las intersecciones. También investigamos las condiciones bajo las cuales una función exponencial crece o decrece.
La función exponencial básica se define por
\[ f(x) = B^x \]donde la base \( B \) satisface \( B > 0 \) y \( B \neq 1 \).
El dominio de la función exponencial \( f \) definida anteriormente es el conjunto de todos los números reales.
La siguiente tabla muestra los valores de las funciones exponenciales \( 2^x \), \( 4^x \) y \( 7^x \).
| \( x \) | \( 2^x \) | \( 4^x \) | \( 7^x \) |
| \(-10\) | \(0.00097\) | \(9.53674 \times 10^{-7}\) | \(3.54013 \times 10^{-9}\) |
| \(-5\) | \(0.03125\) | \(0.00097\) | \(0.00006\) |
| \(-1\) | \(0.5\) | \(0.25\) | \(0.14285\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(7\) |
| \(3\) | \(8\) | \(64\) | \(343\) |
| \(5\) | \(32\) | \(1024\) | \(16807\) |
| \(10\) | \(1024\) | \(1048576\) | \(282475249\) |
La siguiente tabla muestra los valores de las funciones exponenciales \( 0.2^x \), \( 0.5^x \) y \( 0.8^x \).
| \( x \) | \( 0.2^x \) | \( 0.5^x \) | \( 0.8^x \) |
| \(-10\) | \(9765625\) | \(1024\) | \(9.31323\) |
| \(-5\) | \(3125\) | \(32\) | \(3.05175\) |
| \(-1\) | \(5\) | \(2\) | \(1.25\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0.2\) | \(0.5\) | \(0.8\) |
| \(3\) | \(0.008\) | \(0.125\) | \(0.512\) |
| \(5\) | \(0.00032\) | \(0.03125\) | \(0.32768\) |
| \(10\) | \(1.024 \times 10^{-7}\) | \(0.0009765625\) | \(0.1073741824\) |
De las tablas y gráficas anteriores, concluimos:
Ver también: Encontrar el Rango de Funciones Exponenciales
Sea \( f(x) = B^x \). Dado que \( B = e^{\ln B} \), tenemos
\[ B^x = (e^{\ln B})^x = e^{x \ln B} \]Por lo tanto,
\[ \boxed{B^x = e^{x \ln B}} \]En cálculo, las exponenciales naturales son preferidas porque sus derivadas e integrales son especialmente simples.