Problemas de Geometría con Respuestas y Soluciones - Grado 10

Se presentan problemas de geometría para el grado 10 con soluciones detalladas.

Problemas

1. Cada lado del cuadrado pirámide mostrado a continuación mide 10 pulgadas. La altura oblicua, H, de esta pirámide mide 12 pulgadas.
   

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   1. ¿Cuál es el área, en pulgadas cuadradas, de la base de la pirámide?
      
   2. ¿Cuál es el área total, en pulgadas cuadradas, de la pirámide?
      
   3. ¿Cuál es h, la altura, en pulgadas, de la pirámide?
      
   4. Usando la altura que determinaste en la parte (c), ¿cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de la pirámide?
   
   
2. El paralelogramo mostrado en la figura tiene un perímetro de 44 cm y un área de 64 cm². Encuentra el ángulo T en grados.
   

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3. Encuentra el área del cuadrilátero mostrado en la figura. (NOTA: la figura no está dibujada a escala)
   

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4. En la figura, el triángulo OAB tiene un área de 72 y el triángulo ODC tiene un área de 288. Encuentra x e y.
   

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5. Encuentra las dimensiones del rectángulo que tiene una longitud 3 metros más que su ancho y un perímetro igual en valor a su área.
   
6. Encuentra la circunferencia de un disco circular cuya área es de 100 π centímetros cuadrados.
   
7. El semicírculo de área 1250 π centímetros está inscrito dentro de un rectángulo. El diámetro del semicírculo coincide con la longitud del rectángulo. Encuentra el área del rectángulo.

Soluciones a los Problemas Anteriores

1. 
   a) 100 pulgadas cuadradas
   b) 100 + 4×(1/2)×12×10 = 340 pulgadas cuadradas
   c) h = √(12² - 5²) = √(119)
   d) Volumen = (1/3)×100×√(119)
   = 363.6 pulgadas cúbicas (aproximado a 4 dígitos decimales)
2. 
   

   

   
   44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4) , resuelve para x
   x = 2
   altura = área / base
   = 64 / 14 = 32/7 cm
   sin(T) = Cat/ Hip = (32/7) / 8 = 32/56 = 4/7
   T = arcsin(4/7) = 34.8^o
3. 
   

   

   
   ABD es un triángulo rectángulo; por lo tanto, BD² = 15² + 15² = 450
   También BC² + CD² = 21² + 3² = 450
   Lo anterior significa que el triángulo BCD también es un triángulo rectángulo y el área total del cuadrilátero es la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos.
   Área del cuadrilátero = (1/2)×15×15 + (1/2)×21×3 = 144
4. 
   Área de OAB = 72 = (1/2) sen (AOB) × OA × OB
   resuelve lo anterior para sen(AOB) para encontrar que sen(AOB) = 1/2
   Área de ODC = 288 = (1/2) sen (DOC) × OD × OD
   Nota que sen(DOC) = sen(AOB) = 1/2, OD = 18 + y y OC = 16 + x y sustituye en lo anterior para obtener la primera ecuación en x e y
   1152 = (18 + y)(16 + x)
   Ahora usamos el teorema de las líneas que se cruzan fuera de un círculo para escribir una segunda ecuación en x e y
   16 × (16 + x) = 14 × (14 + y)
   Resuelve las dos ecuaciones simultáneamente para obtener
   x = 20 e y = 14
5. 
   Sea L la longitud y W el ancho del rectángulo. L = W + 3
   Perímetro = 2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6
   Área = L W = (W + 3) W = W² + 3 W
   Área y perímetro son iguales en valor; por lo tanto,
   W² + 3 W = 4W + 6
   Resuelve la ecuación cuadrática anterior para W y sustituye para encontrar L
   W = 3 e L = 6
6. 
   Sea r el radio del disco. El área es conocida y es igual a 100π; por lo tanto,
   100π = π r²
   Resuelve para r: r = 10
   Circunferencia = 2 π r = 20 π
7. 
   Sea r el radio del semicírculo. El área del semicírculo es conocida; por lo tanto,
   1250π = (1/2) π r² (nota el 1/2 debido al semicírculo)
   Resuelve para r: r = 50
   Longitud del rectángulo = 2r = 100 (semicírculo inscrito)
   Ancho del rectángulo = r = 50 (semicírculo inscrito)
   Área = 100 × 50 = 5000

Enlaces y Referencias