Problemas y Preguntas de Trigonometría con Soluciones - Grado 10

Se presentan problemas y preguntas de trigonometría del grado 10 con respuestas y soluciones.

Problemas

1. Encuentra x y H en el triángulo rectángulo a continuación.
   

   
   

2. Encuentra las longitudes de todos los lados del triángulo rectángulo a continuación si su área es 400.
   

   

   
   
3. BH es perpendicular a AC. Encuentra x, la longitud de BC.
   

   

   
   
4. ABC es un triángulo rectángulo con un ángulo recto en A. Encuentra x, la longitud de DC.
   

   

   
   
5. En la figura a continuación, AB y CD son perpendiculares a BC y el tamaÃ~+mn~o del ángulo ACB es 31°. Encuentra la longitud del segmento BD.
   

   

   
   
6. El área de un triángulo rectángulo es 50. Uno de sus ángulos es de 45°. Encuentra las longitudes de los lados e hipotenusa del triángulo.
   
7. En un triángulo rectángulo ABC, tan(A) = 3/4. Encuentra sin(A) y cos(A).
   
8. En un triángulo rectángulo ABC con ángulo A igual a 90°, encuentra los ángulos B y C de manera que sin(B) = cos(B).
   
9. Un rectángulo tiene dimensiones 10 cm por 5 cm. Determina las medidas de los ángulos en el punto donde se intersecan las diagonales.
   
10. Las longitudes del lado AB y el lado BC de un triángulo escaleno ABC son 12 cm y 8 cm respectivamente. El tamaÃ~+mn~o del ángulo C es de 59°. Encuentra la longitud del lado AC.
    
11. Desde la cima de un edificio de 200 metros de altura, el ángulo de depresión hasta la parte inferior de un segundo edificio es de 20 grados. Desde el mismo punto, el ángulo de elevación hasta la parte superior del segundo edificio es de 10 grados. Calcula la altura del segundo edificio.
    
12. Karla está montando verticalmente en un globo aerostático, directamente sobre un punto P en el suelo. Karla ve un automóvil estacionado en el suelo con un ángulo de depresión de 30°. El globo se eleva 50 metros. Ahora el ángulo de depresión al automóvil es de 35 grados. ¿Qué tan lejos está el automóvil del punto P?
    
13. Si la sombra de un edificio aumenta en 10 metros cuando el ángulo de elevación de los rayos del sol disminuye de 70° a 60°, ¿cuál es la altura del edificio?

Soluciones a los Problemas Anteriores

1. x = 10 / tan(51°) = 8.1 (2 cifras significativas)
   H = 10 / sin(51°) = 13 (2 cifras significativas)
   
   
2. Área = (1/2)(2x)(x) = 400
   Resuelve para x: x = 20 , 2x = 40
   Teorema de Pitágoras: (2x)² + (x)² = H²
   H = x √(5) = 20 √(5)
   
   
3. BH perpendicular a AC significa que los triángulos ABH y HBC son triángulos rectángulos. Por lo tanto,
   tan(39°) = 11 / AH o AH = 11 / tan(39°)
   HC = 19 - AH = 19 - 11 / tan(39°)
   Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo HBC: 11² + HC² = x²
   Resuelve para x y sustituye HC: x = √ [ 11² + (19 - 11 / tan(39°) )² ]
   = 12.3 (redondeado a 3 cifras significativas)
   
   
4. Dado que el ángulo A es recto, ambos triángulos ABC y ABD son rectángulos y, por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
   14² = 10² + AD² , 16² = 10² + AC²
   También x = AC - AD
   = √( 16² - 10² ) - √( 14² - 10² ) = 2.69 (redondeado a 3 cifras significativas)
   
   
5. Usa el triángulo rectángulo ABC para escribir: tan(31°) = 6 / BC , resuelve: BC = 6 / tan(31°)
   Usa el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BCD para escribir:
   9² + BC² = BD²
   Resuelve para BD y sustituye BC: BD = √ [ 9 + ( 6 / tan(31°) )² ]
   = 13.4 (redondeado a 3 cifras significativas)
   
   
6. El triángulo es rectángulo y uno de sus ángulos tiene un tamaÃ~+mn~o de 45°; el tercer ángulo tiene un tamaÃ~+mn~o de 45° y, por lo tanto, el triángulo es rectángulo e isósceles. Sea x la longitud de uno de los lados y H la longitud de la hipotenusa.
   Área = (1/2)x² = 50 , resuelve para x: x = 10
   Ahora usamos Pitágoras para encontrar H: x² + x² = H²
   Resuelve para H: H = 10 √(2)
   
   
7. Sea a la longitud del lado opuesto al ángulo A, b la longitud del lado adyacente al ángulo A y h la longitud de la hipotenusa.
   tan(A) = lado opuesto / lado adyacente = a/b = 3/4
   Podemos decir que: a = 3k y b = 4k , donde k es un coeficiente de proporcionalidad. Encontramos ahora h.
   Teorema de Pitágoras: h² = (3k)² + (5k)²
   Resuelve para h: h = 5k
   sin(A) = a / h = 3k / 5k = 3/5 y cos(A) = 4k / 5k = 4/5
   
   
8. Sea b la longitud del lado opuesto al ángulo B y c la longitud del lado opuesto al ángulo C y h la longitud de la hipotenusa.
   sin(B) = b/h y cos(B) = c/h
   sin(B) = cos(B) significa b/h = c/h, lo que da c = b
   Los dos lados son iguales en longitud, lo que significa que el triángulo es isósceles y los ángulos B y C son iguales en tamaÃ~+mn~o de 45°.
   
   
9. El diagrama a continuación muestra el rectángulo con las diagonales y la mitad de uno de los ángulos con tamaÃ~+mn~o x.
   tan(x) = 5/2.5 = 2 , x = arctan(2)
   Mayor ángulo formado por diagonales 2x = 2 arctan(2) = 127° (3 cifras significativas)
   Menor ángulo formado por diagonales 180 - 2x = 53°.

   

   
   
   
10. Sea x la longitud de lado AC. Usa la ley del coseno
    12² = 8² + x² - 2 · 8 · x · cos(59°)
    Resuelve la ecuación cuadrática para x: x = 14.0 y x = - 5.7
    x no puede ser negativo y, por lo tanto, la solución es x = 14.0 (redondeado a una décima parte).
    
    
11. El diagrama a continuación muestra los dos edificios y los ángulos de depresión y elevación.
    tan(20°) = 200 / L
    L = 200 / tan(20°)
    tan(10°) = H2 / L
    H2 = L × tan(10°)
    = 200 × tan(10°) / tan(20°)
    Altura del segundo edificio = 200 + 200 × tan(10°) / tan(20°)

    

Más Referencias y Enlaces sobre Trigonometría