¿Cómo utilizar formas especiales de polinomios para factorizar otros polinomios? Se presentan preguntas junto con soluciones detalladas y explicaciones. Estudiaremos cinco formas especiales de polinomios.
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Pregunta
Factoriza el polinomio.
16 x 2 - 9 y 2
Solución
Observa que 16 x 2 = (4 x) 2 y 9 y 2 = (3 y) 2
Podemos escribir
16 x 2 - 9 y 2 = (4 x) 2 - (3 y) 2
Ahora que hemos escrito el polinomio dado como la diferencia de dos cuadrados, usamos la fórmula anterior para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
16 x 2 - 9 y 2 = (4 x) 2 - (3 y) 2 = (4 x - 3 y)(4 x + 3 y)
a) a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2
b) a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2
Pregunta
Factoriza los polinomios.
4 x 2 + 20 x y + 25 y 2
Solución
Observa que los monomios que componen el polinomio dado se pueden escribir de la siguiente manera:
4 x 2 = (2 x) 2 , 20 x y = 2(2 x)(5 y) y 25 y 2 = (5 y) 2.
Ahora escribimos el polinomio dado de la siguiente manera
4 x 2 + 10 x y + 25 y 2 = (2 x) 2 + 2(2 x)(5 y) + (5 y) 2
Usamos la fórmula a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2 para escribir el polinomio dado como un cuadrado de la siguiente manera:
4 x 2 + 20 x y + 25 y 2 = (2 x) 2 + 2(2 x)(5 y) + (5 y) 2 = (2 x + 5 y) 2
Pregunta
Factoriza los polinomios.
1 - 6 x + 9 x 2
Solución
Observa que los monomios que componen el polinomio dado se pueden escribir de la siguiente manera:
1 = 1 2 , - 6 x = - 2(3)x y 9 x 2 = (3 x) 2.
El polinomio dado se puede escribir de la siguiente manera
1 - 6 x + 9 x 2 = 1 2 - 2(3) x + (3 x) 2
Usamos la fórmula a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2 para escribir el polinomio dado como un cuadrado de la siguiente manera:
1 - 6 x + 9 x 2 = 1 2 - 2(3) x + (3 x) 2 = (1 - 3 x) 2
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + a b + b 2)
Pregunta
Factoriza el polinomio.
8 - 27 x 3
Solución
Observa que los monomios que componen el polinomio dado se pueden escribir de la siguiente manera:
8 = (2) 3 y 27 x 3 = (3 x) 3
Ahora, el polinomio dado se puede escribir de la siguiente manera
8 - 27 x 3 = (2) 3 - (3 x) 3
Usamos la fórmula a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) para escribir el polinomio dado factorizado de la siguiente manera:
8 - 27 x 3 = (2) 3 - (3 x) 3 = (2 - 3 x)( (2) 2 + (2)(3x) + (3 x) 2) = (2 - 3 x)(9 x 2 + 6x + 4)
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2)
Pregunta
Factoriza el polinomio.
8 y 3 + 1
Solución
Los dos monomios que componen el polinomio dado se pueden escribir de la siguiente manera:
8 y 3 = (2 y) 3 y 1 = (1) 3
El polinomio a factorizar se puede escribir de la siguiente manera
8 y 3 + 1 = (2 y) 3 + (1) 3
Usamos la fórmula a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) para escribir el polinomio dado factorizado de la siguiente manera:
8 y 3 + 1 = (2 y) 3 + (1) 3 = (2 y + 1)( (2 y) 2 - (2 y)(1) + (1) 2) = (2 y + 1)(4 y 2 - 2 y + 1)
Factoriza los siguientes polinomios especiales
a) - 25 x 2 + 9
b) 16 y 4 - x 4
c) 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2
d) (1/2) x 2 + x + (1/2)
e) - y 3 - 64
f) x 6 - 1
a) Si tomamos a = 5 x y b = 3, el polinomio dado se puede escribir como:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2
Usamos el polinomio especial a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizamos el polinomio dado de la siguiente manera:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2 = (- a + b)(a + b) = (-5 x + 3)(5 x + 3)
b) El polinomio dado tiene la forma de la diferencia de dos cuadrados y se puede escribir como:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2
Usamos el polinomio especial a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizamos el polinomio dado de la siguiente manera:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2 = (4y 2 - x 2)(4y 2 + x 2)
El término (4y 2 + x 2) en lo anterior es la suma de dos cuadrados y no se puede factorizar usando números reales. Sin embargo, el término (4y 2 - x 2) es la diferencia de dos cuadrados y se puede factorizar aún más. Por lo tanto, el polinomio dado se factoriza de la siguiente manera:
16 y 4 - x 4 = (2 y - x)(2 y + x)(4y 2 + x 2)
c) El polinomio dado se puede escribir como:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2
Usamos el trinomio especial a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2 para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2 = (6 y - 5 x) 2
d) Factoriza (1/2) y reescribe el polinomio dado como:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2) x 2 + 2 (1/2) x + (1/2) = (1/2) (x + 1) 2
e) El polinomio dado se puede escribir como:
- y 3 - 64 = - (y) 3 - 4 3
Usamos la fórmula a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
- y 3 - 64 = - (y) 3 - 4 3 = - (y - 4)(y 2 + 4 y + 16)
f) El polinomio dado tiene la forma de la diferencia de dos cuadrados y se puede escribir como:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 2
Usamos la fórmula a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)
Usamos nuevamente la fórmula a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) para factorizar el primer factor en lo anterior de la siguiente manera:
x 3 - 1 = (x - 1)(x 2 + x + 1)
Por lo tanto, el polinomio dado se factoriza de la siguiente manera:
x 6 - 1 = (x 3 - 1)(x 3 + 1) = (x - 1)(x 2 + x + 1)(x 3 + 1)
Factorización de polinomios
Factorización de polinomios por factor común
Factorización de polinomios por agrupación
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