Identidades trigonométricas y el círculo de unidades preguntas con soluciones detalladas
¿Cómo usar el círculo unitario para encontrar propiedades e identidades de las funciones seno y coseno? Las preguntas de trigonometría de grado 11 se presentan junto con las soluciones y explicaciones detalladas .
Un círculo tiene un número infinito de simetrías con respecto a las líneas a través del centro y una simetría con respecto a su centro. Aquí nos interesan las simetrías con respecto a su centro, el eje x, el eje y y la línea y = x. Se mostrará cómo el uso de estas simetrías nos permite escribir varias identidades en trigonometría.
Identidades debido a la simetría del círculo de unidades en los ejes de origen, x e y ejes
Cuatro ángulos (θ, π - θ, π + θ and 2π - θ) se muestran a continuación en un círculo unitario. A cada ángulo corresponde un punto ( A, B, C o D ) en el círculo unitario.
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Los cuatro ángulos tienen el mismo ángulo de referencia igual a & theta ;. Debido a la simetría del círculo, los cuatro puntos forman un rectángulo ABCD como se muestra arriba. Los puntos A y B son reflejo el uno del otro del eje y. Los puntos A y C son reflejo el uno del otro sobre el origen del sistema de eje. Los puntos A y D son reflejo el uno del otro en el eje x. Dadas las coordenadas a y b del punto A y utilizando las simetrías del círculo, las coordenadas de A, B, C y D están dadas por:
A: (a , b) , B: (- a , b), C: (- a , - b) and D: (a , - b)
Ahora expresamos las coordenadas de cada punto en términos del seno y el coseno del ángulo correspondiente de la siguiente manera.
A: (a , b) = (cos θ , sin θ)
B: (- a , b) = (cos(π - θ) , sin(π - θ))
C: (- a , - b) = (cos(π + θ) , sin(π + θ))
D: (a , - b) = (cos(2π - θ) , sin(2π - θ))
Ejemplos de identidades
Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y B, podemos escribir
cos(π - θ) = - cos θ
sin(π - θ) = sin θ
Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y C, podemos escribir
cos(π + θ) = - cos θ
sin(π + θ) = - sin θ
Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y D, podemos escribir
cos(2π - θ) = cos θ
sin(2π - θ) = - sin θ
Más identidades debido a la simetría de la unidad Círculo en el eje x (ángulos negativos)
Dos ángulos θ, e - θ se muestran a continuación en un círculo unitario al que corresponden los puntos A y D en el círculo unitario.
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Los puntos A y D son reflejo el uno del otro en el eje x. Dadas las coordenadas a y b del punto A, las coordenadas de D están dadas por:
D: (a , - b)
Ahora expresamos las coordenadas de los puntos A y D en términos del seno y el coseno del ángulo correspondiente de la siguiente manera.
A: (a , b) = (cos θ , sin θ)
D: (a , - b) = (cos(- θ) , sin(- θ))
Ejemplos de identidades que pueden ser deducidas
cos(- θ) = cos θ
sin( - θ) = - sin θ
Identidades debido a la simetría de la unidad Círculo en la línea y = x
Los puntos A y B que se muestran en el círculo unitario a continuación son reflejo uno del otro en la línea y = x. Debido a la simetría del círculo unitario con respecto a la línea y = x, los ángulos correspondientes a estos puntos son θ e π/2 - θ como se muestra a continuación.
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Los puntos A y B son reflejo el uno del otro en la línea y = x. Dadas las coordenadas a y b del punto A, las coordenadas de B están dadas por:
B: (b , a)
Ahora expresamos las coordenadas de los puntos A y B en términos del seno y el coseno del ángulo correspondiente de la siguiente manera.
A: (a , b) = (cos θ , sin θ)
B: (b , a) = (cos(π/2 - θ) , sin(π/2 - θ))
Ejemplos de identidades que pueden ser deducidas
cos(π/2 - θ) = sin θ
sin(π/2 - θ) = cos θ
Usa las siguientes identidades generales
1) cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
2) cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
3) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
4) sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
para verificar las identidades que se encuentran arriba y se enumeran a continuación.
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