Preguntas y problemas de parábola con soluciones detalladas
Problemas de Parabola con respuestas y soluciones detalladas, en la parte inferior de la página, se presentan.
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Preguntas y Problemas
Encuentra las intersecciones x e y, el vértice y el eje de simetría de la parábola con ecuación \( y = - x^2 + 2 x + 3 \)?
¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta con ecuación \( 2x + 3y = 7 \) y la parábola con ecuación \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5\)?
Encuentra los puntos de intersección de las dos parábolas con ecuación \( y = -(x - 3)^2 + 2\) y \( y = x^2 - 4x + 1\).
Encuentra la ecuación de la parábola \( y = 2 x^2 + b x + c\) que pasa por los puntos \( (-1,-5)\) y \( (2,10)\).
¿Cuál es la ecuación de la parábola con x intercepta en \( x = 2\) y \( x = -3\), y una y - intercepta en \( y = 5\)?
Encuentra la ecuación de la parábola \( y = a x^2 + b x + c \) que pasa por los puntos \( (0,3) \) , \( (1,-4)\) y \( (-1, 4)\).
Hallar la ecuación de la parábola, con eje de simetría vertical, que es tangente a la recta \( y = 3 \) en \( x = -2 \) y su gráfica pasa por el punto \((0,5) \).
¿Para qué valor de la pendiente m es la recta, de ecuación \( y = m x - 3 \), tangente a la parábola de ecuación \( y = 3 x^2 - x \)?
¿Para qué valores del parámetro b la recta de ecuación \( y = 2 x + b \) corta la parábola de ecuación \( y = - x^2 - 2 x + 1\) en dos puntos?
Halla la ecuación \( y = a x^2 + x\) de la parábola tangente a la recta de ecuación \( y = 3 x + 1\).
Desplace la gráfica de la parábola \( y = x^2 \) 3 unidades hacia la izquierda, luego refleje la gráfica obtenida en el eje x y luego desplácela 4 unidades hacia arriba. ¿Cuál es la ecuación de la nueva parábola después de estas transformaciones?
¿Qué transformaciones se necesitan para transformar la gráfica de la parábola \( y = x^2 \) en la gráfica de la parábola \( y = - x^2 + 4 x + 6 \)?
Escribe la ecuación de la parábola que se muestra en el siguiente gráfico.
Soluciones a las preguntas y problemas anteriores
Las intersecciones x son la intersección de la parábola con el eje x, que son puntos en el eje x y, por lo tanto, sus coordenadas y son iguales a 0. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación:
\( 0 = - x^2 + 2 x + 3 \)
Factorizar el lado derecho de la ecuación: \( -(x - 3)(x + 1) = 0\)
Las intersecciones x son: Resolver para x: \(x = 3\) y \(x = -1\) ,
Las intersecciones y son la intersección de la parábola con el eje y, que es un punto en el eje y y, por lo tanto, sus coordenadas x son iguales a 0
el intercepto en y es :\( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \),
El vértice se encuentra escribiendo la ecuación de la parábola en forma de vértice \(y = a(x - h)^2 + k \) completando el cuadrado e identificando las coordenadas del vértice \( h \) y \( k \).
Completa el cuadrado: \(y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \)
Vértice en el punto \( (1 , 4) \)
Puede verificar todos los puntos anteriores encontrados usando el gráfico de \( y = - x^2 + 2 x + 3 \) que se muestra a continuación.
Los puntos de intersección son soluciones de las ecuaciones simultáneas \( 2x + 3y = 7 \) y \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \).
Como \( y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \), sustituya y por \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) en la ecuación \( 2x + 3y = 7 \) de la siguiente manera
\( 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \)
Escriba la ecuación cuadrática obtenida arriba en forma estándar
\( -6x^2 + 8x + 8 = 0 \)
Divide todos los términos de la ecuación entre 2.
\( -3x^2 + 4x + 4 = 0 \)
Solución para x
\( x = 2 , x = -2/3 \)
Sustituye x por las soluciones anteriores en \( 2x + 3y = 7 \) para encontrar y.
\( x = 2 , y = 1 \) y \( x = -2/3 , y = 25/9 \)
Los puntos de intersección son: \( (2 , 1) \) y \( (-2/3 , 25/9) \).
Verifique la respuesta gráficamente a continuación.
Los puntos de intersección de las dos parábolas son soluciones de las ecuaciones simultáneas
\( y = -(x - 3)^2 + 2 \) y \( y = x^2 - 4x + 1 \).
Eliminar \( y \) y deducir la ecuación con una incógnita
\( -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \)
\( -2x^2 + 10x - 8 = 0 \)
\( -x^2 + 5x - 4 = 0 \)
Las soluciones de la ecuación cuadrática anterior son:
\(x = 1 \) y \(x = 4 \)
Usa una de las ecuaciones para encontrar y:
\(x = 1 \) en la ecuación \(y = -(x - 3)^2 + 2 \) para obtener \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)
\( x = 4 \) en la ecuación \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) para obtener \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)
Puntos: \( (1 , -2) \) y \( (4 , 1) \)
Verifique la respuesta gráficamente a continuación.
Los puntos \((-1,-5)\) y \((2,10) \) están en la gráfica de la parábola \( y = 2 x^2 + b x + c\), por lo tanto.
\( -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\)
\( 10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\)
Reescribe el sistema anterior en b y c en forma estándar.
\( - b + c = - 7\)
\( 2 b + c = 2\)
Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para obtener: \( c = - 4 \) y \( b = 3\)
Ecuación de la parábola que pasa por los puntos \( (-1,-5)\) y \( (2,10)\) es: \( y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\)
Usa un trazador de gráficos para comprobar la respuesta trazando los gráficos de \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) y comprueba que el gráfico pasa por los puntos \( (-1,-5) \) y \((2,10)\).
La ecuación de una parábola con intersecciones x en \( x = 2 \) y \( x = -3 \) se puede escribir como el producto de dos factores cuyos ceros son las intersecciones x como sigue:
\( y = a(x - 2)(x + 3) \)
Ahora usamos el intercepto en y en (0, 5), que es un punto por el que pasa la parábola, para escribir:
\( 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \)
Resolver para \(a\)
\( a = - 5 / 6 \)
Ecuación: \( y = (-5/6)(x - 2)(x + 3)\)
Grafica \( y = (-5/6)(x - 2)(x + 3)\) y comprueba que la gráfica tiene un intercepto en x en \( x = 2 , x = -3 \) y un intercepto en y en \( y = 5\).
Los puntos \( (0,3), (1,-4) \) y \( (-1,4) \) están en la gráfica de la parábola \( y = a x^2 + b x + c \) y son por lo tanto soluciones a la ecuación de la parábola. Por lo tanto, escribimos el sistema de 3 ecuaciones de la siguiente manera:
El punto \( (0,3) \) da la ecuación: \( 3 = a (0)^2 + b (0) + c \quad (I) \)
El punto \( (1,-4) \) da la ecuación: \( - 4 = a (1)^2 + b (1) + c \quad (II) \)
El punto \( (-1,4) \) da la ecuación: \( 4 = a (-1)^2 + b (-1) + c \quad (III) \)
La ecuación (I) da:
\( c = 3 \)
Sustituir c por 3 en las ecuaciones (II) y (III)
\( a + b = -7 \)
\( a - b = 1 \)
Resolver el sistema en a y b
\( a = - 3 \) y \( b = - 4 \)
Ecuación: \( y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \)
Grafica las gráficas de \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) y comprueba que la gráfica pasa por los puntos \( (0,3), (1,-4) \) y \( (-1 ,4) \).
La ecuación de la parábola, con eje de simetría vertical, tiene la forma \( y = a x^2 + b x + c \) o en forma de vértice \( y = a(x - h)^2 + k \) donde el el vértice está en el punto \( (h , k)\) .
En este caso es tangente a una recta horizontal \( y = 3 \) en \( x = -2 \) lo que significa que su vértice está en el punto \( (h , k) = (-2 , 3) \). Por lo tanto, la ecuación de esta parábola se puede escribir como:
\( y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \)
Su gráfica pasa por el punto \( (0 , 5) \). Por eso
\( 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a+ 3 \)
Resuelve lo anterior para \( a \)
\( a = 1 / 2 \)
Ecuación: \( y = (1/2)(x + 2)^2 + 3 \)
Trace las gráficas de \( y = (1/2)(x + 2)^2 + 3 \) y verifique que la gráfica sea tangente a la línea horizontal \( y = 3 \) en \( x = -2 \) y también la gráfica pasa por el punto \( (0 , 5) \).
Una recta y una parábola son tangentes si tienen un solo punto de intersección, que es el punto en el que se tocan.
Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema
\( y = m x - 3 \) y \( y = 3 x^2 - x \)
\( mx - 3 = 3 x^2 - x \)
Escriba como una ecuación cuadrática estándar:
\( 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \)
El discriminante de la ecuación cuadrática anterior viene dado por:
\( \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \)
La recta es tangente a la parábola de las gráficas de las dos curvas tienen un punto de intersección si:
\( \Delta = 0 \) (caso de una solución de una ecuación cuadrática)
De ahí la ecuación:
\( (1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \)
Resolver para m
\( (1 + m)^2 = 36 \)
Soluciones: \( m = 5 \) y \( m = -7 \)
Usa un trazador de gráficos para verificar la respuesta trazando los gráficos de las líneas: \( y = 5 x - 3 \) (m = 5 solución ), \( y = -7 x - 3 \) (m = 7 solución) y la parábola \( y = 3 x^2 - x\) y comprueba que las dos rectas son tangentes a la gráfica de la parábola \( y = 3 x^2 - x\).
Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema
\( y = 2 x + b \) y \( y = - x^2 - 2 x + 1 \)
\( 2 x + b = - x^2 - 2 x + 1 \)
Escriba como una ecuación cuadrática estándar:
\( - x^2 - 4 x + 1 - b = 0 \)
El discriminante de la ecuación anterior viene dado por: \( \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \)
Las gráficas de \( y = 2 x + b \) y \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) tienen dos puntos de intersección si \( \Delta \gt 0 \) (caso de dos soluciones reales de una ecuación cuadrática)
\( 20 - 4 b \gt 0 \)
Resolver para b
\( b \lt 5 \)
Usa un trazador de gráficos para verificar la respuesta trazando los gráficos de \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) y líneas con ecuaciones \( y = 2 x + b \) para valores de \( b \gt 5 \) , \( b \lt 5 \) y \( b = 5 \) para ver cuántos puntos de intersección de la parábola y la recta hay para cada uno de estos valores de \( b \).
Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema
\( y = a x^2 + x \) y \( y = 3 x + 1 \)
\( 3 x + 1 = a x^2 + x \)
Escriba como una ecuación cuadrática estándar:
\( a x^2 - 2 x - 1 = 0 \)
Discriminante: \( \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \)
Las gráficas son tangentes si tienen un punto de intersección (caso para una solución de una ecuación cuadrática) si \( \Delta = 0 \). Por eso
\( 4 + 4 a = 0 \)
Resolver para \(a\)
\( a = -1 \)
Ecuación de parábola: \( y = -x^2 + x \)
Grafica \( y = - x^2 + x \) y \( y = 3 x + 1 \) para verificar la respuesta que se encuentra arriba.
Comienzo: \( y = x^2 \)
Desplazar 3 unidades a la izquierda: \( y = (x + 3)^2 \)
Reflexiona sobre el eje x: \( y = -(x + 3)^2 \)
Desplace 4 unidades hacia arriba: \( y = -(x + 3)^2 + 4 \)
Dado: \( y = - x^2 + 4 x + 6 \)
Reescribe en forma de vértice completando el cuadrado: \( y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\)
Comienzo: \( y = x^2\)
Desplazar 2 unidades a la derecha: \( y = (x - 2)^2\)
Reflexiona sobre el eje x: \( y = -(x - 2)^2 \)
Desplace 10 unidades hacia arriba: \( y = -(x - 2)^2 + 10\)
Cualquier punto identificado en el gráfico dado puede usarse para encontrar la ecuación de la parábola. Sin embargo, usar las intersecciones x, y y el vértice son mejores formas de encontrar la ecuación de la parábola cuyo gráfico se muestra a continuación.
Se presentan dos métodos para resolver el problema:
método 1:
El gráfico tiene dos intersecciones x: (-5, 0) y (-1, 0)
Usa las dos intersecciones x en (-5, 0) y (-1, 0) para escribir la ecuación de la parábola de la siguiente manera:
\( y = a(x + 1)(x + 5)\)
Usa el intercepto en y en (0, -5) para escribir
\( - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\)
Resolver para \(a \)
\(a = -1\)
Escribe la ecuación de la parábola:
\( y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 -6 x - 5\)
método 2:
Usa el vértice en \( ( h , k) = (-3 , 4) \) para escribir la ecuación de la parábola en forma de vértice de la siguiente manera:
\( y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \)
Usa el intercepto en y (0, -5) para encontrar \(a\).
\( - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \)
Resuelve lo anterior para \(a\): \( a = -1 \)
La ecuación de la parábola está dada por
\(y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \)
