Simplificar Expresiones Racionales

¿Cómo simplificar expresiones racionales? Se presentan ejemplos de grado 11 junto con soluciones detalladas y explicaciones completas. También se incluyen más preguntas con respuestas al final de la página.
Se incluye una calculadora en línea para simplificar expresiones racionales que se puede utilizar para verificar los resultados.

¿Cómo simplificar expresiones racionales?

\( \) \( \) \( \)\( \)\( \) \( \require{cancel} \) \( \newcommand\ccancel[2][black]{\color{#1}{\xcancel{\color{red}{#2}}}}\)

¿Cómo simplificar expresiones racionales? Se utilizan las reglas de suma, resta, multiplicación y división de expresiones racionales para simplificar expresiones complejas.
Las expresiones racionales con el mismo denominador se suman o restan de la siguiente manera:

\( \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \)

Las expresiones racionales se multiplican de la siguiente manera:
\( \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \)

Dividimos dos expresiones racionales multiplicando la primera expresión racional por el recíproco de la segunda expresión racional de la siguiente manera:
\( \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \;\; \text{o} \;\; \dfrac{ \dfrac{A}{B} }{ \dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \)

Si tienes dificultades para simplificar expresiones racionales, revisa los tutoriales en Cómo Sumar, Restar y Simplificar Expresiones Racionales y Cómo multiplicar, dividir y simplificar expresiones racionales y luego comienza el tutorial actual. Los ejemplos con soluciones detalladas y explicaciones en estos tutoriales te ayudarán a superar cualquier dificultad en simplificar expresiones racionales, siempre y cuando entiendas cada paso involucrado en resolver estas preguntas y también dediques más tiempo a practicar si es necesario. Presentaré los ejemplos a continuación, comenzando con fracciones primero y luego con expresiones racionales, con preguntas más desafiantes a medida que avanzas en el tutorial. ¡Necesitas entender cada paso!
También puedes revisar las preguntas sobre reducción de expresiones racionales y sus soluciones


Ejemplo 1: Simplificar: \( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \).

Solución:
Primero simplificamos el numerador \( \dfrac{2}{3} + 5 \) de la fracción \( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} \). Convertir a denominador común.

\( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \)

Cambiar 4 a una fracción \( \frac{4}{1} \) y simplificar \( \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} \) dividiendo las fracciones, lo que se convierte en una multiplicación por el recíproco.

\( = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \)

Multiplicar las fracciones \( \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} \).

\( = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \)

Convertir a denominador común y sumar.

\( = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \dfrac{23}{12} \)



Ejemplo 2: Simplificar: \( \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \).

Solución:

Primero simplificamos el numerador \( \dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1} \) convirtiéndolo al mismo denominador y aplicando la regla de la suma de dos expresiones racionales cuyo denominador común más bajo es \( (x - 2)(x + 1) \).

\( \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\)

Ahora aplicamos la regla de división de expresiones racionales multiplicando por el recíproco de \( \dfrac{x+1}{1} \).

\( = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \)

Simplificamos cancelando factores comunes.

\( = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x-2)}\)

Expandir y simplificar.

\( = \dfrac{2x^2+1}{x-2} \;\; \text{para} \;\; x \ne -1\)



Ejemplo 3: Simplificar: Simplificar: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \).

Solución:

Simplificamos \( \dfrac{x-1}{3x+2}+3 \) convirtiéndolo primero al mismo denominador

\( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \)

luego aplicamos la regla de la suma de dos expresiones racionales.

\( = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3 \cdot (3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \)

Expandimos y simplificamos \( x - 1 +3 \cdot (3x+2) \) .

\( = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \)

Usamos la regla de división de expresiones racionales, que se reduce a una multiplicación por el recíproco en: \( \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} \).

\( = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \)

Factorizamos

\( = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 = \)

y simplificamos .

\( = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \)

Convertir al mismo denominador, aplicar la regla de suma de expresiones racionales y simplificar.

\( \dfrac{10(2x+1)}{x+1}-2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{10(2x+1) - 2(x+1)}{x+1} = \dfrac{2(9x+4)}{x+1} \;\; \text{para} \;\; x \ne -2/3 \)



Ejemplo 4: Simplificar: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \)

Solución:

Aplicar la regla de resta de expresiones racionales a \( \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2} \) y \( \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3} \)

\( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{2-x -4}{x+2}}{\dfrac{1-4}{x+3}} \)

luego simplificar.

\( = \dfrac{ \dfrac{-x - 2}{x+2}}{\dfrac{-3}{x+3}} \)

Aplicar la regla de división de expresiones racionales y factorizar

\( = \dfrac{-x - 2}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{-(x + 2)}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \)

y simplificar

\( = \dfrac{-{\cancel{(x+2)}}}{{\cancel{x+2}}} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{x+3}{3} \;\; \text{para} \;\; x \ne -2 \)



Ejemplo 5: Simplificar: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \)

Solución:

Aplicar la regla de multiplicación a \( \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3} \) y la regla de resta a \( \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3} \).

\( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)}}{\dfrac{1 - 4}{x+3}} \)

Aplicar la regla de división:

\( = \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \)

Simplificar.

\( = \dfrac{4(2-x)}{(x+2){\cancel{(x+3)}}} \cdot \dfrac{{\cancel{(x+3)}}}{-3} = -\dfrac{4(2-x)}{3(x+2)} \;\; \text{para} \;\; x \ne -3 \)



Ejemplo 6: Simplificar: \( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \).

Solución:

Primero convertimos los términos en \( x + \dfrac{1}{x+1} \) al mismo denominador.

\( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} \)

Ahora sumamos \( x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1} \) y simplificamos.

\( = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \)

Observa que \( \dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}} \) es un recíproco igual a \( \dfrac{x+1}{x^2+x+1}\). Por lo tanto,

\(= \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \)

Convertimos los términos en \( 1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \) al mismo denominador.

\( = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \)

Simplificamos y aplicamos la regla de adición a \( \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \).

\( = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} \)

La última expresión es el recíproco de una expresión racional que se puede escribir como.

\( = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2} \)



Más preguntas: Simplifica las siguientes expresiones - Respuestas al final de la página.

a) \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)

b) \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)

c) \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)

d) \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)

e) \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)

f) \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)

Respuestas a las preguntas anteriores

a) \( \dfrac{353}{60} \)

b) \( 4(x-1) \)

c) \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)}\)

d)\( \dfrac{ (x+2 ) (x-5)}{3(x+1)} \)

e) \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)

f)\( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)

Más referencias y enlaces

Un Calculador de Simplificación de Expresiones Racionales en línea.
preguntas sobre la reducción de expresiones racionales y sus soluciones
Matemáticas de secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
Más Matemáticas de Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos Con Respuestas
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