Cómo utilizar la simetría de un círculo unitario para encontrar valores de las funciones seno y coseno para los ángulos relacionados por simetría con los ángulos especiales π/6, π/4 y π/3.
Ángulos Especiales en el Círculo Unitario
Cualquier línea que pase por el centro de un círculo es una línea de simetría. El centro del círculo es el punto de simetría. Ahora consideramos un círculo unitario con el centro en el origen de un sistema de ejes x e y. Nos interesan aquí las simetrías con respecto al origen, al eje x y al eje y.
Conocer los valores del seno y coseno de los ángulos en el primer cuadrante facilita el uso de la simetría del círculo unitario para obtener el seno y el coseno de los ángulos en los otros cuadrantes.
El círculo unitario a continuación muestra los valores de las funciones coseno y seno (coordenadas en azul, siendo la coordenada x el coseno y la coordenada y es el seno) para los ángulos especiales:
0, π/6 (30 °), π/4 (45 °), π/3 (60 °), π/2 (90 °), 2π/3 (120 °), 5π/4 (135 °) ...
Figura 1. Círculo unitario con ángulos especiales
Pregunta: ¿Cómo encontrar el seno y coseno de un ángulo entre 0 y 2π relacionado por simetría con alguno de los ángulos π/6, π/4 o π/3?
Ejemplo 1
Consideremos los ángulos: 2π/3, 4π/3 y 5π/3. Todos tienen una relación con π/3:
2π/3 = π - π/3 (simetría con respecto al eje y, ver círculo unitario arriba)
Por lo tanto: cos(2π/3) = - cos(π/3) = -1/2 y sin(2π/3) = sin(π/3) = √3/2
4π/3 = π + π/3 (simetría con respecto al origen)
Por lo tanto: cos(4π/3) = - cos(π/3) = -1/2 y sin(4π/3) = - sin(π/3) = - √3/2
5π/3 = 2π - π/3 (simetría con respecto al eje x)
Por lo tanto: cos(5π/3) = cos(π/3) = 1/2 y sin(5π/3) = - sin(π/3) = - √3/2
NOTA que el seno y coseno de π/3, 2π/3, 4π/3 y 5π/3 son iguales en valor absoluto y sus signos dependen del cuadrante de sus lados terminales. Por lo tanto, sabiendo que cos(π/3) = 1/2 y sin(π/3) = √3 / 2, el seno y el coseno de 2π/3, 4π/3 y 5π/3 se obtienen fácilmente de cos(π/3) = 1/2 y sin(π/3) = √3 / 2 mediante el uso de la simetría del círculo unitario y cambiando el signo.
Ejemplo 2
Consideremos los ángulos: 5π/6, 7π/6 y 11π/6. Todos tienen una relación con π/6:
5π/6 = π - π/6 (simetría con respecto al eje y)
Por lo tanto: cos(5π/6) = - cos(π/6) = -√3/2 y sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2
7π/6 = π + π/6 (simetría con respecto al origen)
Por lo tanto: cos(7π/6) = - cos(π/6) = -√3/2 y sin(7π/6) = - sin(π/6) = -1/2
11π/6 = 2π - π/6 (simetría con respecto al eje x)
Por lo tanto: cos(11π/6) = cos(π/6) = √3/2 y sin(11π/6) = - sin(π/6) = - 1/2
NOTA que el seno y coseno de π/6, 5π/6, 7π/6 y 11π/6 son iguales en valor absoluto y sus signos dependen del cuadrante de sus lados terminales.
Ejemplo 3
Consideremos los ángulos: 3π/4, 5π/4 y 7π/4. Todos tienen una relación con π/4:
3π/4 = π - π/4 (simetría con respecto al eje y)
Por lo tanto: cos(3π/4) = - cos(π/4) = -√2/2 y sin(3π/4) = sin(π/4) = √2/2
5π/4 = π + π/4 (simetría con respecto al origen)
Por lo tanto: cos(5π/4) = - cos(π/4) = -√2/2 y sin(5π/4) = - sin(π/4) = - √2/2
7π/4 = 2π - π/4 (simetría con respecto al eje x)
Por lo tanto: cos(7π/4) = cos(π/4) = √2/2 y sin(7π/4) = - sin(π/4) = - √2/2
NOTA que el seno y coseno de π/4, 3π/4, 5π/4 y 7π/4 son iguales en valor absoluto y sus signos dependen del cuadrante de sus lados terminales.
