Problemas y Preguntas de Trigonometría con Soluciones

Grado 11 problemas de trigonometría y preguntas con respuestas y soluciones se presentan.

Problemas y Preguntas

1. Una rueda de la fortuna con un radio de 25 metros da una vuelta completa cada 36 segundos. En la parte inferior de la atracción, el pasajero está a 1 metro sobre el suelo.
   a) Sea h la altura, sobre el suelo, de un pasajero. Determine h como una función del tiempo si h = 51 metros en t = 0.
   b) Encuentre la altura h después de 45 segundos.

   
   

2. Linda mide el ángulo de elevación desde un punto en el suelo hasta la copa del árbol y encuentra que es de 35°. Luego camina 20 metros hacia el árbol y encuentra el ángulo de elevación desde este nuevo punto hasta la copa del árbol de 45°. Encuentra la altura del árbol. (Redondear la respuesta a tres cifras significativas)

   
   

3. Desde la cima de un acantilado de 200 metros de altura, los ángulos de depresión de dos barcos de pesca en la misma línea de visión en el agua son de 13 grados y 15 grados. ¿Qué tan lejos están los barcos? (Redondea tu respuesta a 4 cifras significativas)

   
   

4. Demuestra que [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) - sin(3x)

   
   

5. El gráfico de la función f es el gráfico de la función g(x) = a sin(x - pi/3) traducido verticalmente por 2. Además, f(pi/2) = 1. Encuentra una fórmula en términos de x para la función f.

   
   

6. Encuentra sin(x) y tan(x) si cos(pi/2 - x) = - 3/5 y sin(x + pi/2) = 4/5?

   
   

7. Encuentra el valor exacto de [ tan (25°)+ tan (50°) ] / [ 1 - tan( 25°) tan(50°) ]

   
   

8. ¿Cuál es el ángulo B del triángulo ABC, dado que A = 46°, b = 4 y c = 8? (Nota: el lado a enfrenta al ángulo A, el lado b enfrenta al ángulo B y el lado c enfrenta al ángulo C).

   
   

9. Encuentra el valor exacto de tan (s + t) dado que sin s = 1/4, con s en el cuadrante 2, y sin t = -1/2, con t en el cuadrante 4.

   
   

10. Encuentra todos los ángulos de un triángulo con lados 9, 12 y 15.

    
    

11. Escribe una ecuación para una función seno con una amplitud de 5/3, un período de pi/2 y un desplazamiento vertical de 4 unidades hacia arriba.

    
    

12. Encuentra los valores exactos de cos (13π/12).

    
    

13. Dos engranajes están interconectados. El engranaje más pequeño tiene un radio de 4 pulgadas y el engranaje más grande tiene un radio de 10 pulgadas. El engranaje más pequeño rota 890 grados en 4 segundos. ¿Cuál es la velocidad angular, en grados por minuto, de la rotación del engranaje más grande?

    
    

14. Una escalera de longitud 20 metros descansa contra la pared. La base de la escalera está a x metros de distancia de la base de la pared y el ángulo que forma la pared y la escalera es t.
    a) Encuentra x en términos de t.
    b) Comenzando desde t = 0 (la escalera contra la pared) y luego aumentando gradualmente el ángulo t; ¿para qué tamaño de ángulo t x será la cuarta parte de la longitud de la escalera?

Soluciones a los Problemas Anteriores

1. 
   a) Sea P la posición del pasajero (ver figura abajo)
   

   .

   
   La altura h del pasajero se da por
   h = 1 + 25 + y = y + 26
   y depende del ángulo de rotación A.
   sin(pi/2 - A) = y/25, lo que da y = 25 cos(A)
   El ángulo A depende de la velocidad angular w de la siguiente manera
   A = w t, donde t es el tiempo.
   La velocidad angular w se da por
   w = 2pi / 36 = Pi / 18 (radianes/segundo)
   Ahora sustituimos para encontrar h de la siguiente manera h(t) = 25 cos( (pi/18) t) + 26 , donde t está en segundos e y en metros.
   b) h(45) = 25 cos( (pi/18) 45) + 26 = 25 cos(3pi/2) + 26 = 26 metros.
2. 
   Usando la figura a continuación, escribimos las siguientes ecuaciones:
   tan(35°) = h / x y tan(45°) = h / (x - 20), donde h es la altura del árbol.
   Resolvemos ambas ecuaciones para x para encontrar
   x = h / tan(35°) y x = h / tan(45°) + 20
   Lo que da h / tan(35°) = h / tan(45°) + 20
   Resolvemos para h; h = [ 20 tan(35°) tan(45°) ] / [ tan(45°) - tan(35°) ] = 46.7 metros (3 dígitos significativos)
   

   .
   

3. 
   Usando la figura a continuación, escribimos las siguientes ecuaciones:
   tan(75°) = y / 200 y tan(77°) = (y + x) / 200
   Eliminamos y de las dos ecuaciones y resolvemos para x: x = 200 [ tan(77°) - tan(75°) ] = 119.9 metros (redondeado a 4 cifras significativas)
   

   .

4. 
   Comenzamos con el lado derecho: cos(x) - sin(3x) = cos(x) - sin( x + 2x)
   = cos(x) - sin(x)cos(2x) - cos(x)sin(2x)
   Expandimos ahora el lado izquierdo: [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ]
   = cos(x) cos(2x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) + sin(x) sin(2x)
   Usamos las identidades cos(2x) = 1 - 2 sin^2 y sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) para transformar los dos primeros términos (solo) en la expresión anterior.
   = cos(x)(1 - 2 sin^2) + sin(x) 2 sin(x) cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)
   = cos(x) - 2 cos(x) sin^2 + 2 cos(x) sin^2 - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)
   = cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)
   El lado izquierdo se ha transformado de manera que es igual al lado derecho.
5. 
   f tiene la siguiente forma f(x) = a sin(x - pi/3) + 2: desplazando el gráfico de g 2 unidades hacia arriba.
   f(pi/2) = a sin(pi/2 - pi/3) + 2 = 1
   Resolvemos para a para encontrar a = -2
   f(x) = -2 sin(x - pi/3) + 2
6. 
   Expandimos y simplificamos: cos(pi/2 - x) = cos(pi/2)cos(x) + sin(pi/2)sin(x) = sin(x) = -3/5
   Expandimos y simplificamos: sin(x + pi/2) = sin(x) cos(pi/2) + cos(x) sin(pi/2) = cos(x) = 4/5
   tan(x) = sin(x) / cos(x) = (-3/5) / (4/5) = -3/4
7. 
   La fórmula de adición para la tangente se puede usar para escribir
   [ tan (25°)+ tan (50°) ] / [ 1 - tan( 25°) tan(50°) ] = tan(25° + 50°)
   = tan(75°)
   = tan(45° + 30°)
   = [ tan(45°) + tan(30°) ] / [1 - tan(45°)tan(30°) ]
   = [ 1 + √(3) / 3 ] / [ 1 - 1*√(3) / 3 ]
   = √(3) + 2
8. 
   Usamos la regla del coseno para encontrar el lado a
   a = √(16 + 64 - 2*4*8*cos(46°))
   Luego usamos la regla del seno para encontrar el ángulo B de la siguiente manera
   sin(B) / 4 = sin(A) / a
   B = arcsin (4 sin(A) / a) = 29 grados (redondeado al número entero más cercano)
9. 
   Dado que sin(s) = 1/4 y sin(t) = -1/2 y sus cuadrantes, encontramos cos(s) y cos(t).
   cos(s) = - √(15) / 4 y cos(t) = √(3) / 2
   Expandimos ahora:
   tan (s + t) = sin(s + t) / cos(s + t)
   = [ sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t) ] / [ cos(s)cos(t) - sin(s)sin(t) ]
   Sustituimos
   = - [ 4 √(3) + √(15) ] / 11
10. 
    Nota que 15^2 = 12^2 + 9^2, lo que significa que el triángulo en cuestión es un triángulo rectángulo.
    Sea A el ángulo que enfrenta al lado con longitud 9; por lo tanto, sin(A) = 9/15
    A = 37° (redondeado al número entero más cercano)
    El tercer ángulo = 90° - 37° = 53°
11. 
    y = (5/3) sin(B x) + 4, B > 0
    2 pi / B = pi/2, resolvemos para B: B = 4
    y = (5/3) sin(4 x) + 4
12. 
    cos(13 pi/12) = cos(pi/12 + pi) = - cos(pi/12)
    = - cos( (1/2)(pi/6) ) = - √ [ ( (1/2)(1 + cos(pi/6)) ] fórmula del semiangulo
    = - √ [ 1/2 + √(3) / 4 ]
13. 
    
    Sean R1 y R2 los radios de los engranajes 1 y 2. Sean S1 y S2 los arcos de rotación de los engranajes 1 y 2. Los engranajes interconectados tienen igual velocidad tangencial (medida en pulgadas/segundo), por lo tanto, los arcos S1 y S2 son iguales en longitud.
    R1 × t1 = R2 × t2
    t1 y t2 son los ángulos de rotación de los engranajes más grande y más pequeño respectivamente.
    10 × t1 = 4 × 890°
    t1 = 356°
    Velocidad angular = 356° / 4 segundos = 89° / segundo
    = 89° × 60 / (1 segundo × 60) = 5340° / minuto

    .

14. 
    La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. Por lo tanto,
    a) tan(t) = x / 20 o x = 20 tan(t)
    b) x = (1/4) 20 = 20 tan(t) Resolvemos para t: t = arctan(1/4) = 14° (redondeado a 2 cifras significativas)

Más Referencias y Enlaces