Evalúa las siguientes expresiones
a) (3 + 2i) - (8 - 5i)
b) (4 - 2i)*(1 - 5i)
c) (- 2 - 4i) / i
d) (- 3 + 2i) / (3 - 6i)
Si (x + yi) / i = (7 + 9i), donde x e y son reales, ¿cuál es el valor de (x + yi)(x - yi)?
Determine todo el número complejo z que satisfaga la ecuación
z + 3 z' = 5 - 6i
donde z' es el conjugado complejo de z.
Encuentre todos los números complejos de la forma z = a + bi, donde a e b son números reales tales que z z '= 25 e a + b = 7
donde z' es el conjugado complejo de z.
El número complejo 2 + 4i es uno de la raíz de la ecuación cuadrática x2 + b x + c = 0, donde b e c son números reales.
a) Encuentra b y c
b) Escriba la segunda raíz y verifíquela.
Encuentre todos los números complejos z de modo que z 2 = -1 + 2 √6 i.
Calcule todos los números complejos z de modo que (4 + 2i) z + (8 - 2i) z' = -2 + 10i, donde z' es el conjugado complejo de z.
Dado que el número complejo z = -2 + 7i es una solución a la ecuación:
z3 + 6 z2 + 61 z + 106 = 0
¿Cuál es la solución real para la ecuación?
a) Demuestre que el número complejo 2i es una solución de la ecuación
z4 + z3 + 2 z2 + 4 z - 8 = 0
b) Calcula todas las soluciones raíz de esta ecuación.
P(z) = z4 + a z3 + b z2 + c z + d es un polinomio donde a, b, c e d son números reales. Determine a, b, c e d si dos ceros de P polinomial son los siguientes números complejos: 2 - i y 1 - i.
Soluciones a las preguntas anteriores
a) -5 + 7i
b) -6 - 22i
c) -4 + 2i
d) -7/15 - 4i/15
Let z = a + bi , z' = a - bi ; a e b números reales.
Sustituyendo z y z' en la ecuación dada para obtener
a + bi + 3*(a - bi) = 5 - 6i
a + 3a + (b - 3b) i = 5 - 6i
4a = 5 and -2b = -6
a = 5/4 and b = 3
z = 5/4 + 3i
z z' = (a + bi)(a - bi)
= a2 + b2 = 25
a + b = 7 gives b = 7 - a
Sustituir arriba en la ecuación a2 + b2 = 25
a2 + (7 - a)2 = 25
Resuelve la función cuadrática anterior para ay usa b = 7 - a para encontrar b.
a = 4 and b = 3 or a = 3 and b = 4
z = 4 + 3i and z = 3 + 4i tener la propiedad z z' = 25.
a) Sustituir solución en ecuación: (2 + 4i)2 + b(2 + 4i) + c = 0
Expanda los términos en ecuación y reescriba como: (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0
La parte real y la parte imaginaria son iguales a cero.
-12 + 2b + c = 0 and 16 + 4b = 0
Resuelve para b: b = -4, sustituye y resuelve para c: c = 20
b) Como la ecuación dada tiene números reales, la segunda solución es el conjugado complejo de la raíz dada: 2 - 4i es la segunda solución.
verificar: (2 - 4i)2 - 4 (2 - 4i) + 20
Expandir = 4 - 16 - 16i - 8 + 16i + 20
= (4 - 16 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0
Dejar z = a + bi
Sustituir en la ecuación dada: (a + bi)2 = -1 + 2 √6 i
Expandir: a2 - b2 + 2 ab i = - 1 + 2 √6 i
La parte real y las partes imaginarias deben ser iguales.
a2 - b2 = - 1 and 2 ab = 2 √6
Ecuación 2 ab = 2 √6 da: b = √6 / a
Substitute: a2 - ( √6 / a )2 = - 1
a4 - 6 = - a2
Resuelve la ecuación anterior y selecciona solo soluciones reales: a = √2 and a = - √2
Sustituye para encontrar b e escribe los dos números complejos que satisfacen la ecuación dada.
z1 = √2 + √3 i , z2 = - √2 - √3 i
Deje z = a + bi donde a e b son números reales. El complejo conjugado z' se escribe en términos de a e b de la siguiente manera: z' = a - bi. Sustituir z y z' en la ecuación dada
(4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i
Expande y separa partes reales e imaginarias.
(4a - 2b + 8a - 2b) + (4b + 2a - 8b - 2a )i = -2 + 10i
Dos números complejos son iguales si sus partes reales y partes imaginarias son iguales. Agrupar términos similares.
12a - 4b = -2 and - 4b = 10
Resuelve el sistema de lo desconocido a e b para encontrarlo.
b = -5/2 and a = -1
z = -1 - (5/2)i
Como z = -2 + 7i es una solución a la ecuación y todos los coeficientes en los términos de la ecuación son números reales, entonces z' el complejo conjugado de z es también una solución. Por lo tanto
z3 + 6 z2 + 61 z + 106 = (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) q(z)
= (z2 + 4z + 53) q(z)
q(z) = [ z3 + 6 z2 + 61 z + 106 ] / [ z2 + 4z + 53 ]
= z + 2
Z + 2 is a factor of z3 + 6 z2 + 61 z + 106 y, por lo tanto, z = -2 es la solución real de la ecuación dada.
a) (2i)4 + (2i)3 + 2 (2i)2 + 4 (2i) - 8
= 16 - 8i - 8 + 8i - 8 = 0
b) 2i es una solución -2i también es una solución (complejo conjugado porque todos los coeficientes son reales).
z4 + z3 + 2 z2 + 4 z - 8 = (z - 2i)(z + 2i) q(z)
= (z2 + 4)q(z)
q(z) = z2 + z - 2
Las otras dos soluciones de la ecuación son las raíces de q (z): z = 1 e z = -2.
Dado que todos los coeficientes de P polinomial son reales, los complejos conjugados a los ceros dados también son ceros de P.
P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i))(z - (1 - i))(z - (1 + i)) =
= z4 - 6 z3 + 15 z2 - 18 z + 10
Por lo tanto: a = -6, b = 15, c = -18 e d = 10.
