Resuelve la ecuación:
Solución
Tenga en cuenta que 27, 9 y 3 pueden escribirse como potencias de 3 de la siguiente manera:
27 = 33 , 9 = 32 e 3 = 31
Usando lo anterior y también la fórmula \( \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} \), reescribimos la ecuación dada de la siguiente manera:
(33)2x (3-2)x - 2 = (32)-x (3-1)2 - x
Ahora usamos la fórmula (xm)n = x m n para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera.
36x 3-2x + 4 = 3-2x 3- 2 + x
Usa la fórmula xm xn = xm + n para reescribir la ecuación de la siguiente manera
36x- 2x + 4 = 3- 2x - 2 + x
Simplifique los exponentes para obtener
34x + 4 = 3- x - 2
Usamos el hecho de que una función exponencial de la forma a x es una función uno a uno, lo que significa que si 3 m = 3 n , luego m = n para escribir una ecuación algebraica usando la ecuación anterior:
4x + 4 = - x - 2
Resuelve lo anterior para x para obtener la solución de la ecuación dada.
5x = - 6 da la Solución x = - 6 / 5 = - 1.2
A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 27^{2x} \left( \dfrac{1}{9} \right)^{x-2} - 9^{-x} \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2-x} = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución analítica que se encuentra arriba. Verifique que estén cerca de su valor.
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Encuentra las soluciones a la ecuación $$ \sqrt{16^x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2-1} $$
Solución
Tenga en cuenta que √(16x) = (16x)1/2 = 16(1/2)x y usarlo para reescribir la ecuación dada como
16(1/2)x = (1/2)x2-1
Nota that 1/2 = 2-1 and 16 = 24 y usarlo para reescribir la ecuación anterior como
(24)(1/2)x = (2-1)x2-1
Usa la fórmula (xm)n = x m n para reescribir la ecuación anterior como
22x = 2-x2 + 1
Usamos el hecho de que una función exponencial de la forma ax es una función uno a uno para escribir.
2x = - x2 + 1
Reescribe en forma estándar y resuelve la ecuación cuadrática anterior.
x2 + 2x - 1 = 0
Δ = 22 - 4 (1)(-1) = 8
Dos soluciones: x1 = - 1 - √ 2 ≈ -2.41 and x2 = - 1 + √ 2 ≈ 0.41
El gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( \sqrt{16^x} - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2-1} = 0 \) se muestra a continuación. Las intersecciones en x son aproximaciones a las soluciones analíticas de soluciones que se encuentran arriba. Verifique que tengan valores cercanos.
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¿Cuáles son las soluciones a la ecuación? $$ 2^x - 6 \cdot 2^{-x} = 6 ? $$
Solución
Dejar u = 2x que también da 1/u = 2- x y reescribir la ecuación en términos de u.
u - 6/u = 6
u no puedes ser cero (porque 2x no puede ser menor o igual a cero), por lo tanto, multiplicamos todos los términos de la ecuación anterior por uy simplificamos
u(u - 6/u) = 6 u
u2 - 6 = 6 u
u2 - 6 u - 6 = 0
Resuelve para u
Δ = (-6)2 - 4(1)(-6) = 60
Dos soluciones: u1 = 3 + √15 e u2 = 3 - √15
Ahora resolvemos x utilizando la sustitución anterior u = 2x.
Primera ecuación: 2x = 3 + √15
ln(2x) = ln(3 + √15)
x ln(2) = ln(3 + √15)
Solución: x = ln(3 + √15) / ln 2 ≈ 2.78
Segunda ecuación: 2x = 3 - √15 no tiene solución porque 3 - √15 es menor que cero.
A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 2^x - 6 \cdot 2^{-x} - 6 = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.
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Encuentra las soluciones a la ecuación $$ 5^{x+1} = 100 \cdot 3^x . $$
Solución
Tome el logaritmo natural (ln) de ambos lados
ln (5x + 1) = ln (100 ⋅ 3x )
Use reglas de registro para simplificar.
(x + 1) ln 5 = ln 100 + x ln 3
Expande los términos del lado izquierdo y del grupo con x.
x ln 5 + ln 5 = ln 100 + x ln 3
x (ln 5 - ln 3) = ln 100 - ln 5
x = (ln 100 - ln 5) / (ln 5 - ln 3) ≈ 5.86
A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 5^{x+1} - 100 \cdot 3^x = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.
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Resuelve la ecuación: $$ \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} = 3 $$
Solución
Dejar u = ex que también da 1/u = e- x y reescribir la ecuación en u. (u = ex no puede ser menor o igual a cero)
(u - 1/u) / 2 = 3
Multiplica ambos lados por 2 y simplifica
u - 1 / u = 6
Multiplica ambos lados por ti y simplifica
u2 - 1 = 6 u
u2 - 6u - 1 = 0
Resuelve para u
Δ = (-6)2 - 4(1)(-1) = 40
Two solutions: u1 = 3 + √10 and u2 = 3 - √10
Ahora resolvemos x utilizando la sustitución anterior u = ex.
Primera ecuación: ex = 3 + √10
ln(ex) = ln(3 + √10)
Solución: x = ln(3 + √10) ≈ 1.82
Segunda ecuación: ex = 3 - √10 no tiene solución porque 3 - √10 es menor que cero.
A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} - 3 = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.
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¿Cuáles son las soluciones a la ecuación? $$ 3^{2-3x} = 4^{2x+1} \,\,?$$
Solución
Tome el logaritmo natural (ln) de ambos lados
ln (32 - 3x) = ln (42x + 1)
Usa reglas de registro para simplificar.
(2 - 3x) ln 3 = (2x + 1) ln 4
Expande ambos lados de la ecuación y agrupa los términos con x.
2 ln 3 - 3 x ln 3 = 2 x ln 4 + ln 4
x (-3 ln 3 - 2 ln 4) = ln 4 - 2 ln 3
x = (2 ln 3 - ln 4) / (3 ln 3 + 2 ln 4) ≈ 0.13
A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 3^{2-3x} - 4^{2x+1} = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.
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Resuelve para x la ecuación: $$ 9^x −3^{x+1} + 2 = 0 $$
Solución
Tenga en cuenta que
9x = (32)x = 32 x = (3x)2
Reescribe la ecuación dada usando 9x = (3x)2 e 3x + 1 = 3⋅3x
(3x)2 - 3⋅3x + 2 = 0
Dejar u = 3x y reescribir la ecuación en u.
u2 - 3 u + 2 = 0
Resuelve para u factorizando
(u - 2)(u - 1) = 0
Dos soluciones: u1 = 2 and u2 = 1
Ahora resolvemos x utilizando la sustitución anterior u = 3x.
Primera ecuación: 3x = 2
ln( 3x) = ln 2
x ln 3 = ln 2
Solución: x = ln 2 / ln 3 ≈ 0.63
Segunda ecuación: 3x = 1 , solución x = 0.
A continuación se muestra la gráfica del lado izquierdo de la ecuación dada. Las x interceptaciones son aproximaciones a las soluciones analíticas encontradas anteriormente.
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