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Solutions to the Above Problems

1. • medida del ángulo BAC = (180 - 36) / 2 = 72°: triángulo isósceles
   • medida del ángulo BOC = 2 * medida del ángulo BAC = 144°: ángulo inscrito y ángulo central interceptando el mismo arco.
   
   
2. • Deje que R1, R2 y R3 sean los radios de los círculos C1, C2 y C3 respectivamente con R1 = R2 = R
   • h = C3O + R
   • C3O ² + (x/2) ² = (R + R3) ² : el teorema de Pythagora aplicado al triángulo C3OC1.
   • h = R + C3O = R + √[(R + R3) ² - (x/2) ² ]
     

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3. • Deje que r, R2 y R3 sean los radios de los círculos C1, C2 y C3 respectivamente con R2 = R3 = R
   • (r + R) ² = R ² + (R - r) ² : el teorema de Pythagora aplicado al triángulo MC1C3
   • R = 4r = 40 cm: expande y resuelve para R.
     

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4. La medida del ángulo BtA es igual a 90°: ángulos verticales
   • AB es el diámetro del círculo: inverso del teorema de Thales
   • triángulos BtA y CtD son similares: CD paralelo a AB
   • 3/5 = AB/x: lados correspondientes proporcionales.
   • AB = 3x/5: resolver para AB
   • radio = AB/2 = 3x/10
   • área = π(3x / 10) ² = 0.09 π x ²
   
   
5. • El cuadrado de abajo tiene una longitud lateral de 2x, la mitad del cuadrado dado. Parte de esto está sombreado y la otra parte no está sombreada. Busquemos el área de la parte no sombreada (blanca). La parte sombreada es una cuarta parte de un disco (círculo).
   • área del área no sombreada = (2x) ² - (1/4) π (2x) ²
   • Si volvemos a la forma dada en el problema 5, el área de la parte no sombreada es 8 veces el área no sombreada en la forma actual que se calculó anteriormente.
   • área de la parte sombreada en forma de problema 5 = área total del cuadrado - área total no sombreada
   • = (4x) ² - 8 [(2x) ² - (1/4) π (2x) ² ]
   • = 16x ² (π / 2 - 1)
     

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6. • R² = r² + 10² : Teorema de Pitágoras
   • π(R² - r²) = 100π : área del anillo
     

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7. • El área de un paralelogramo puede calcularse usando el producto cruzado de los vectores AB y AD de la siguiente manera.
   • área = | AB × AD | donde AB y AD son vectores tridimensionales.
   • vector AB = <4, b + 2, 0>: establece el tercer componente en cero ya que la forma dada es bidimensional.
   • vector AD = <6, 4, 0>
   • | <4, b + 2, 0> × <6, 4, 0> | = 80: el módulo de producto cruzado es igual al área
   • | 4 - 6b | = 80
   • b = 14 y b = -38/3: seleccionamos la solución b = 14 ya que el punto B(2, b) está en el cuadrante I.
   • Como ABCD es un paralelogramo, vector AB = vector DC
   • Vector AB = <4, 16, 0>
   • vector DC =
   • c - 4 = 4 e d - 2 = 16: si dos vectores son iguales, sus componentes correspondientes son iguales.
   • c = 8 e d = 18: resuelve las ecuaciones anteriores.
   
   
8. • y² + z² = 12² : Teorema de Pitágoras
   • x² + z² = 9² : Teorema de Pitágoras
   • (y + x)² = 12² + 9² : Teorema de Pitágoras
   • x + y = 15 : Resuelve la ecuación C extrayendo la raíz cuadrada
   • y² - x² = 63 : restando las ecuaciones A y B
   • (y - x)(y + x) = 63 : factorizando el término izquierdo de la ecuación E.
   • y - x = 21/5
   • x = 27/5 , y = 48/5 e z = 36/5 : resolver el sistema formado por las ecuaciones D y G.
   
   
9. • Divida el rectángulo dado en 4 otros rectángulos como se muestra.
   • a² + c² = 4² : El teorema de Pitágora aplicado al triángulo rectángulo superior izquierdo.
   • b² + c² = x² : El teorema de Pitágora aplicado al triángulo rectángulo inferior izquierdo.
   • b² + d² = 5² : El teorema de Pitágora aplicado al triángulo rectángulo inferior derecho.
   • a² + d² = 6² : El teorema de Pitágora aplicado al triángulo rectángulo inferior derecho.
   • a² - b² = 4² - x² : restar las ecuaciones B y C.
   • a² - b² = 6² - 5² : restar las ecuaciones D y E.
   • 4² - x² = 6² - 5² : combinar las ecuaciones F y G.
   • x = √(5) : resolver la ecuación anterior para x.
     

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10. • Debido a la simetría, se puede considerar que la región sombreada está compuesta por dos regiones iguales (en área). El área de la mitad izquierda de la región sombreada es dada por el área del sector BOC menos el área del triángulo BOC.
    • longitud de OM = 3 (por simetría) ya que la distancia entre centros es 6 y el radio r = 4.
    • Dejar t la medida del ángulo BOM.
    • cos(t) = OM/OB = 3/4, t = arccos(3/4): usando el triángulo rectángulo BOM.
    • área del sector BOC = (1/2) (2t) r ²
    • área del triángulo BOC = (1/2) sin (2t) r ²
    • área de la región sombreada = 2 [(1/2) (2t) r ² - (1/2) sin (2t) r ² ]
    • = [2t - sin (2t)] r ² = 7.25 unidades cuadradas (redondeadas a 3 decimales)
      

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