Resuelva ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas inversas
¿Cómo resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas inversas? Las preguntas para el grado 12 se presentan junto con soluciones detalladas. Las soluciones a las ecuaciones también se controlan gráficamente..
Resuelve para x la ecuación: 3 arcsin(x) = π / 2.
Solución
Divida ambos lados de la ecuación por 3.
arcsin(x) = (π / 2) / 3
arcsin(x) = π / 6
Aplicar la función seno a ambos lados y simplificar.
sin(arcsin(x)) = sin(π / 6)
Lo anterior simplifica a
x = 1 / 2
Debido al dominio de arcsin (x), necesitamos verificar que la solución obtenida sea válida.
x = 1 / 2
Lado derecho de la ecuación: 3 arcsin(1 / 2) = 3 (π6) = π / 2.
Lado izquierdo de la ecuación: π / 2.
La solución a la ecuación anterior es: x = 1 / 2.
La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección de los gráficos formados por el lado izquierdo y el derecho de la ecuación dada es 0.5, que es la solución que se encuentra analíticamente.
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Resuelve para x la ecuación: 6 cot(arccos(x)) = 4.
Solución
Divide both sides of the given equation by 6 and simplify.
cot(arccos(x)) = 2 / 3
Dejar
A = arccos(x)
y aplicar la función del coseno a ambos lados para obtener.
cos(A) = cos(arccos(x)) = x
Usando la definición de A arriba, la ecuación puede escribirse como.
cot(A) = 2 / 3
Usa cot(A) = 2/3 para construir un triángulo rectángulo y encontrar cos(A). Encuentre hipotenusa h primero.
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h = √(13)
Ahora usamos el mismo triángulo que se muestra arriba para encontrar cos (A).
x = cos(A) = 2 / √(13) ≈ 0.55
La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación.
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Resuelve para x la ecuación: arcsin(x) = arccos(x).
Solución
Aplicar función seno a ambos lados.
sin(arcsin(x)) = sin(arccos(x))
Simplifique el lado izquierdo usando la identidad sin(arcsin (A)) = A.
x = sin(arccos(x))
dejar A = arccos(x)
cos A = x
sin(arccos(x)) = sin (A) = ± √ (1 - x 2)
Usa lo anterior para reescribir la ecuación dada en forma algebraica.
x = ± √ (1 - x 2)
Cuadrado ambos lados.
x 2 = (1 - x 2)
2 x 2 = 1
x = ± 1 / √(2)
Debido al dominio de la función arccos y también al cuadrado de ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar las inválidas (extrañas).
1) x = 1 / √(2)
lado izquierdo: arcsin( 1 / √(2) ) = π / 4
lado derecho: arccos( 1 / √(2) ) = π / 4
x = 1 / √(2) es una solución a la ecuación dada.
2) x = - 1 / √(2)
lado izquierdo: arcsin( - 1 / √(2) ) = - π / 4
lado derecho: arccos( - 1 / √(2) ) = 3 &pi / 4
x = - 1 / √(2) no es una solución a la ecuación dada.
La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección 0.71 está cerca de 1/√2.
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Resuelve para x la ecuación: arccos(x) = arcsin(x) + π / 2.
Solución
Aplicar la función del coseno a ambos lados.
cos(arccos(x)) = cos( arcsin(x) + π / 2 )
Simplifique el lado izquierdo usando la identidad cos(arccos(A)) = A.
x = cos( arcsin(x) + π / 2 )
Expande el lado derecho usando la identidad: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).
x = cos( arcsin(x)) cos(π / 2) - sin( arcsin(x)) sin(π / 2)
Utilizar cos(π / 2) = 0 , sin( arcsin(x)) = x e sin(π / 2) = 1 para simplificar el lado derecho de la ecuación.
x = - x
2 x = 0
x = 0
Verificar la solución encontrada.
Lado izquierdo: arccos(0) = π / 2
Lado derecho: arcsin(0) + π / 2 = π / 2
x = 0 es una solución a la ecuación dada
La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección es igual a 0 exactamente como el valor calculado analíticamente arriba.
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Resuelve para x la ecuación: arccos(2x) = π/3 + arccos(x).
Solución
Aplicar la función del coseno a ambos lados.
cos(arccos(2x)) = cos(π/3+ arccos(x))
Simplifique el lado izquierdo usando la identidad cos(arccos (A)) = A e expanda el lado derecho usando la identidad: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).
lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = 2 x
lado derecho: cos(π/3+ arccos(x)) = cos(π/3)cos(arcos(x)) - sin(π/3)sin(arccos(x))
= cos(π/3)x - sin(π/3)sin(arccos(x))
Volver a escribir sin(arccos(x)) y el lado derecho de la ecuación como una expresión algebraica.
dejar A = arccos(x) ,
cos(A) = cos(cos(x)) = x
sin(arcos(x)) = sin(A) = ± √ (1 - cos 2A) = ± √ (1 - x 2)
lado derecho: cos(π/3) x ± sin(π/3)√ (1 - x 2)
Utilizar cos(π/3) = 1 / 2 and sin(π/3) = √3 / 2 e reescribe la ecuación usando expresiones algebraicas.
2 x = x / 2 ± √3 / 2√ (1 - x 2)
Reescribe la ecuación con radical en el lado derecho.
3 x / 2 = ± (√3 / 2) √ (1 - x 2)
Cuadre ambos lados de la ecuación y simplifique.
9 x 2 / 4 = [ ± (√3 / 2)√ (1 - x 2) ] 2
9 x 2 / 4 = (3 / 4)(1 - x 2)
Solución para x.
12 x 2 / 4 = 3 / 4
x 2 = 1 / 4
x = ± 1 / 2
Debido al dominio de la función arccos y también al cuadrado de ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar las inválidas (extrañas).
1) x = 1 / 2
lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2(1/2))) = cos(arccos(1)) = 0
lado derecho: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(1 / 2) = π/3 + π/3 = 2 π/3
x = 1 / 2 no es una solución a la ecuación dada.
2) x = - 1 / 2
lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2( - 1/2))) = cos(arccos( - 1)) = π
lado derecho: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(- 1 / 2) = π/3 + 2 π/3 = π
x = - 1 / 2 es una solución a la ecuación dada.
La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. El punto de intersección tiene una coordenada x igual a -0.5 que es exactamente la solución que se encuentra analíticamente.