Resuelva ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas inversas

¿Cómo resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas inversas? Las preguntas para el grado 12 se presentan junto con soluciones detalladas. Las soluciones a las ecuaciones también se controlan gráficamente..

  1. Resuelve para x la ecuación: 3 arcsin(x) = π / 2.

    Solución
    Divida ambos lados de la ecuación por 3.
    arcsin(x) = (π / 2) / 3
    arcsin(x) = π / 6
    Aplicar la función seno a ambos lados y simplificar.
    sin(arcsin(x)) = sin(π / 6)
    Lo anterior simplifica a
    x = 1 / 2
    Debido al dominio de arcsin (x), necesitamos verificar que la solución obtenida sea válida.
    x = 1 / 2
    Lado derecho de la ecuación: 3 arcsin(1 / 2) = 3 (π6) = π / 2.
    Lado izquierdo de la ecuación: π / 2.

    La solución a la ecuación anterior es: x = 1 / 2.
    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección de los gráficos formados por el lado izquierdo y el derecho de la ecuación dada es 0.5, que es la solución que se encuentra analíticamente.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 1.


  2. Resuelve para x la ecuación: 6 cot(arccos(x)) = 4.

    Solución
    Divide both sides of the given equation by 6 and simplify.
    cot(arccos(x)) = 2 / 3
    Dejar
    A = arccos(x)
    y aplicar la función del coseno a ambos lados para obtener.
    cos(A) = cos(arccos(x)) = x
    Usando la definición de A arriba, la ecuación puede escribirse como.
    cot(A) = 2 / 3
    Usa cot(A) = 2/3 para construir un triángulo rectángulo y encontrar cos(A). Encuentre hipotenusa h primero.

    triángulo rectángulo en la pregunta 2.


    h = √(13)
    Ahora usamos el mismo triángulo que se muestra arriba para encontrar cos (A).
    x = cos(A) = 2 / √(13) ≈ 0.55
    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 2.


  3. Resuelve para x la ecuación: arcsin(x) = arccos(x).

    Solución
    Aplicar función seno a ambos lados.

    sin(arcsin(x)) = sin(arccos(x))
    Simplifique el lado izquierdo usando la identidad sin(arcsin (A)) = A.
    x = sin(arccos(x))
    dejar A = arccos(x)
    cos A = x
    sin(arccos(x)) = sin (A) = ± √ (1 - x 2)
    Usa lo anterior para reescribir la ecuación dada en forma algebraica.
    x = ± √ (1 - x 2)
    Cuadrado ambos lados.
    x 2 = (1 - x 2)
    2 x 2 = 1
    x = ± 1 / √(2)
    Debido al dominio de la función arccos y también al cuadrado de ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar las inválidas (extrañas).
    1) x = 1 / √(2)
    lado izquierdo: arcsin( 1 / √(2) ) = π / 4
    lado derecho: arccos( 1 / √(2) ) = π / 4
    x = 1 / √(2)     es una solución a la ecuación dada.
    2) x = - 1 / √(2)
    lado izquierdo: arcsin( - 1 / √(2) ) = - π / 4
    lado derecho: arccos( - 1 / √(2) ) = 3 &pi / 4
    x = - 1 / √(2)       no es una solución a la ecuación dada.
    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección 0.71 está cerca de 1/√2.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 3.


  4. Resuelve para x la ecuación: arccos(x) = arcsin(x) + π / 2.

    Solución
    Aplicar la función del coseno a ambos lados.

    cos(arccos(x)) = cos( arcsin(x) + π / 2 )
    Simplifique el lado izquierdo usando la identidad cos(arccos(A)) = A.
    x = cos( arcsin(x) + π / 2 )
    Expande el lado derecho usando la identidad: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).
    x = cos( arcsin(x)) cos(π / 2) - sin( arcsin(x)) sin(π / 2)
    Utilizar cos(π / 2) = 0 , sin( arcsin(x)) = x e sin(π / 2) = 1 para simplificar el lado derecho de la ecuación.
    x = - x
    2 x = 0
    x = 0
    Verificar la solución encontrada.
    Lado izquierdo: arccos(0) = π / 2
    Lado derecho: arcsin(0) + π / 2 = π / 2
    x = 0 es una solución a la ecuación dada
    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección es igual a 0 exactamente como el valor calculado analíticamente arriba.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 4.


  5. Resuelve para x la ecuación: arccos(2x) = π/3 + arccos(x).

    Solución
    Aplicar la función del coseno a ambos lados.

    cos(arccos(2x)) = cos(π/3+ arccos(x))
    Simplifique el lado izquierdo usando la identidad cos(arccos (A)) = A e expanda el lado derecho usando la identidad: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).
    lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = 2 x
    lado derecho: cos(π/3+ arccos(x)) = cos(π/3)cos(arcos(x)) - sin(π/3)sin(arccos(x))
    = cos(π/3)x - sin(π/3)sin(arccos(x))
    Volver a escribir sin(arccos(x)) y el lado derecho de la ecuación como una expresión algebraica.

    dejar A = arccos(x) ,
    cos(A) = cos(cos(x)) = x
    sin(arcos(x)) = sin(A) = ± √ (1 - cos 2A) = ± √ (1 - x 2)
    lado derecho: cos(π/3) x ± sin(π/3)√ (1 - x 2)
    Utilizar cos(π/3) = 1 / 2 and sin(π/3) = √3 / 2 e reescribe la ecuación usando expresiones algebraicas.
    2 x = x / 2 ± √3 / 2√ (1 - x 2)
    Reescribe la ecuación con radical en el lado derecho.
    3 x / 2 = ± (√3 / 2) √ (1 - x 2)
    Cuadre ambos lados de la ecuación y simplifique.
    9 x 2 / 4 = [ ± (√3 / 2)√ (1 - x 2) ] 2
    9 x 2 / 4 = (3 / 4)(1 - x 2)
    Solución para x.
    12 x 2 / 4 = 3 / 4
    x 2 = 1 / 4
    x = ± 1 / 2
    Debido al dominio de la función arccos y también al cuadrado de ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar las inválidas (extrañas).
    1) x = 1 / 2
    lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2(1/2))) = cos(arccos(1)) = 0
    lado derecho: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(1 / 2) = π/3 + π/3 = 2 π/3
    x = 1 / 2       no es una solución a la ecuación dada.
    2) x = - 1 / 2
    lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2( - 1/2))) = cos(arccos( - 1)) = π
    lado derecho: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(- 1 / 2) = π/3 + 2 π/3 = π
    x = - 1 / 2       es una solución a la ecuación dada.
    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. El punto de intersección tiene una coordenada x igual a -0.5 que es exactamente la solución que se encuentra analíticamente.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 5.



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