Resuelva preguntas sobre funciones inversas
con soluciones y respuestas

Los métodos analíticos y gráficos se utilizan para resolver problemas matemáticos de grado 12 e preguntas sobre funciones inversas. También se presentan soluciones detalladas. Varias preguntas implican el uso de la propiedad de que los gráficos de una función y la gráfica de su inversa son reflejo uno del otro en la línea y = x.

  1. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = 2 x 3 - 1

    gráfico de la función f para preguntar 1.


    1) Dibuje el gráfico de la inversa de f en el mismo sistema de ejes.
    2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.

    Solución
    1) Ubique algunos puntos en el gráfico de f. Aquí hay una lista de puntos cuyas coordenadas (a, b) se pueden determinar fácilmente a partir del gráfico:
    (1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)
    En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores se invertirán en puntos con coordenadas (b, a) de la siguiente manera:
    (1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)
    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de solución de inversa a la pregunta 1.


    2) Escriba la función dada f (x) = 2 x 3 - 1 como una ecuación en dos incógnitas.
    y = 2 x 3 - 1
    Resuelve lo de arriba para x.
    2 x 3 = y + 1
    x 3 = (y + 1) / 2
    $$x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$
    Intercambia xey y escribe la ecuación de la función inversa f -1:
    \( y = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \)
    \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \)
    Ahora verificamos que los puntos (1, 1), (-1, 0) y (-3, -1) utilizados anteriormente para dibujar el gráfico de la función inversa están en el gráfico de f -1 .
    \( f^{-1}(1) = \sqrt[3]{\dfrac{1 + 1}{2}} = 1\)
    \( f^{-1}(-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0\)
    \( f^{-1}(-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1\)
  2. Dejar f(x) = x 2 - 4 x + 5, x ≤ 2.
    1) Encuentre la función inversa de f.
    2) Encuentra el dominio y el rango de f -1.
    Solución
    1) Nos da una función cuadrática con un dominio restringido. Primero escribimos la función dada en forma de vértice (se puede hacer completando el cuadrado):
    f(x) = x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 + 1 , x ≤ 2
    La gráfica de la función f es la de la mitad izquierda de una parábola con vértice en (2, 1) como se muestra a continuación.

    gráfico de la función f en la pregunta 2.


    Ahora escribimos la función dada como una ecuación.
    y =(x - 2) 2 + 1
    Resuelve lo de arriba para x.
    y =(x - 2) 2 + 1
    (x - 2) 2 = y - 1
    Dos soluciones para x - 2:     x - 2 = +√(y - 1)     or     x - 2 = - √(y - 1)
    x = √(y - 1) + 2     or     x = - √(y - 1) + 2
    Desde x ≤2 (dominio de f), seleccionamos la solución
    x = - √(y - 1) + 2
    Intercambia xey para escribir el inverso de la función f de la siguiente manera.
    y = f -1(x) = - √(x - 1) + 2
    El dominio y el rango de f -1 son el rango y el dominio de f.
    Dominio de f -1 es el rango de f: [1 , +∞)     (del gráfico)
    El rango de f -1 es el dominio de f: (-∞ , 2]     (dado)

  3. A continuación se muestra la gráfica de f(x) = √(2 x - 3).

    gráfico de la función f en la pregunta 3.


    1) Dibuje el inverso de f en el mismo gráfico.


    2) Encuentra el inverso de y verifica tu respuesta usando algunos puntos.

    Solución
    1) Ubique algunos puntos en el gráfico de f. Una posible lista de puntos cuyas coordenadas (a, b) es la siguiente:
    (1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)
    En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores se invertirán en los puntos (b , a) de la siguiente manera:
    (0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)
    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de la solución de inversa a la pregunta 3.


    2) Escribe la función dada f(x) = √(2 x - 3) como una ecuación en dos incógnitas.
    y = √(2 x - 3)
    Resuelve lo anterior para x. Primer cuadrado ambos lados
    2 x - 3 = y 2
    2 x = y 2 + 3
    x = (y 2 + 3) / 2
    Intercambia xey y escribe la ecuación de la función inversa f -1 ; y escribe el dominio de la inversa.
    y = (x 2 + 3) / 2
    f -1 (x) = (x 2 + 3) / 2 , x ≥ 0 (dominio que es el rango de f de su gráfico anterior)
    Ahora verificamos que los puntos (0 , 1.5) , (1 , 2) e (3 , 6) utilizado para dibujar el gráfico de la función inversa están en el gráfico de f -1 .
    f -1(0) = (0 2 + 3) / 2 = 1.5
    f -1(1) = (1 2 + 3) / 2 = 2
    f -1(3) = (3 2 + 3) / 2 = 6

  4. Dibuje el gráfico de f -1 usando la gráfica de y = f(x) que se muestra a continuación y encuentre f -1 (x).

    gráfico de la función f en la pregunta 4.


    Solución
    1) Usa el gráfico para encontrar puntos en el gráfico de f. Una posible lista de puntos cuyas coordenadas (a , b) es la siguiente:
    (0 , 3) , (2 , -1) , (5 , - 3)
    En el gráfico de la función inversa, los puntos anteriores tendrán las coordenadas (b , a) de la siguiente manera:
    (3 , 0) , (- 1 , 2) , (- 3 , 5)
    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de solución de inversa a la pregunta 4.


    2) Ahora determinamos f -1(x). por -3 ≤ x ≤ - 1 , f -1(x) tiene una expresión lineal con pendiente
    m 1 a través de los puntos (- 1 , 2) , (- 3 , 5) dada por
    m1 = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = - 3 / 2
    Por -3 ≤ x ≤ - 1, f -1(x) es dado por:
    f -1(x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2
    For - 1 < x ≤ 3 , f -1(x) tiene una expresión lineal con pendiente a través de los puntos (- 1 , 2), (3 , 0) dados por
    m2 = (0 - 2) / (3 - (-1)) = - 1 / 2
    Por - 1 < x ≤ 3, f -1(x) es dado por:
    f -1(x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2

  5. La función de uno a uno $$f(x) = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} $$ se representa gráficamente a continuación.

    gráfico de la función en la pregunta 5.


    1) ¿Cuál es el dominio y rango de f?


    2) Dibuje el gráfico de f -1 .


    3) Encuentra f -1 (x) (incluye el dominio).
    Solución
    1) f(x) se define como un número real si el radicando 2/x - 1 es mayor o igual a 0. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:
    2/x - 1 ≥ 0
    (2 - x)/x ≥ 0
    La expresión a la izquierda de la desigualdad cambia el signo en los ceros del numerador y el denominador, que son x = 2 e x = 0. Consulte la tabla a continuación.

    tabla de signos a la desigualdad en la pregunta 5.


    Dominio: (0, 2]


    Rango: (- ∞, 0]
    2) Puntos en el gráfico de f
    (2 , 0) , (1 , -1)
    Los puntos anteriores en el gráfico de la función inversa se invertirán en puntos con coordenadas (b, a) de la siguiente manera:
    (0 , 2) , (- 1 , 1)
    Trace los puntos anteriores y dibuje el gráfico de la inversa de f para que los dos gráficos se reflejen entre sí en la línea y = x como se muestra a continuación.

    gráfico de solución de inversa a la pregunta 5.


    3) Escribe f (x) como una ecuación en y e x.
    \( y = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} \)
    Resuelve la ecuación anterior para x. Cuadrar ambos lados de la ecuación anterior
    \( y^2 = \dfrac{2}{x}-1 \)
    \( \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 \)
    \( x = \dfrac{2}{y^2 + 1} \)
    Intercambia xey y escribe la función inversa
    \( y = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)
    \( f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)
    Dominio y rango de f -1 son el rango y el dominio de f. Por lo tanto,
    Dominio de f -1: (-∞ , 0]
    Rango de f -1: (0 , 2]

  6. A continuación se muestra el gráfico de 6 funciones. Dibuje el gráfico de la inversa de cada función.

    gráfico de la función en la pregunta 6.


    Solución
    Para cada gráfico, seleccione puntos cuyas coordenadas sean fáciles de determinar. Utilice estos puntos y también el reflejo de la gráfica de la función fy su inversa en la línea y = x para esquematizar para dibujar las funciones inversas como se muestra a continuación

    gráfico de la función inversa en la pregunta 6.


  7. Encuentre el inverso de f(x) = Log 4 (x + 2) - 5, su dominio y rango.
    Solución
    Escriba la función dada como una ecuación en x e y de la siguiente manera:
    y = Log4(x + 2) - 5
    Resuelve la ecuación anterior para x.
    Log4(x + 2) = y + 5
    x + 2 = 4 (y + 5)
    x = 4 (y + 5) - 2
    Intercambio x e y.
    y = 4 (x + 5) - 2
    Escribe la función inversa con su dominio y rango.
    f-1(x) = 4 (x + 5) - 2 , Domain: (-∞ , +∞) , Range: (-2 , +∞)

  8. Si f (x) = ln (x) + 4 x - 8, ¿cuál es el valor de f -1 (- 4)?
    Solución
    Deje a = f -1 (- 4). Entonces,
    f(a) = f(f -1(- 4)) = - 4 (Usando la propiedad f (f -1 (x)) = x de la función inversa).
    Ahora tenemos que encontrar a tal que f(a) = - 4 por lo tanto, la ecuación para resolver.
    ln(a) + 4a - 8 = - 4
    ln(a) = 4 - 4a
    La ecuación anterior no se puede resolver analíticamente, pero su solución se puede aproximar gráficamente como la coordenada x del punto de intersección de los gráficos de y = ln (x) e y = 4 - 4x como se muestra a continuación.

    gráfico de la ecuación pregunta 8.


    La intersección de los dos gráficos está cerca de x = 1, que se puede verificar fácilmente que es la solución exacta a la ecuación
    ln (x) = 4 - 4x. Por lo tanto
    f-1( - 4) = 1

References

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