El polinomio \( p \) está definido por \( p(x) = x^3+5x^2-2x-24 \; \) tiene una raíz en \( \; x = 2 \). Factoriza \( p \) completamente y encuentra sus raíces.
solución
\( p(x) \) tiene una raíz en \( x = 2 \) y, por lo tanto, \( \; x - 2 \) es un factor de \( p(x) \). Divide \( p(x) \) por \( x - 2 \)
Usando la división anterior, \( p(x) \) ahora se puede escribir en forma factorizada de la siguiente manera:
\( p(x) = (x - 2)(x^2 + 7 x + 12) \)
Factoriza la expresión cuadrática \( x^2 + 7 x + 12 \).
\( p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) \)
Las raíces se encuentran resolviendo la ecuación.
\( p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) = 0 \)
Para que \( p(x) \) sea igual a cero, necesitamos tener
\( x - 2 = 0 \), o \( x + 3 = 0 \) , o \( x + 4 = 0 \)
Resuelve cada una de las ecuaciones anteriores para obtener las raíces de \( p(x) \).
\( x = 2 \), \( x = - 3 \) y \(x = - 4 \).
Pregunta 2
El polinomio \( p(x)=3x^4+5x^3-17x^2-25x+10 \) tiene raíces irracionales en \( x = \pm \sqrt5 \). Encuentra las otras raíces.
solución
Las raíces en \( x = \pm \sqrt5 \) corresponden a los factores.
\( x - \sqrt 5 \) y \( x + \sqrt 5 \)
Por lo tanto, el polinomio \( p(x) \) se puede escribir como
\( p(x) = (x - \sqrt {5})(x + \sqrt {5}) Q(x) = (x^2 - 5)Q(x) \)
Encuentra \( Q(x) \) usando la división larga de polinomios
\( Q(x) = \dfrac{p(x)}{x^2 - 5} \)
\( \quad = 3 x^2 + 5 x - 2 \)
Factoriza \( Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 \)
\( Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 = (3x - 1)(x + 2) \)
Factoriza \( p(x) \) completamente
\( p(x) = (x - \sqrt 5)(x + \sqrt 5)(3x - 1)(x + 2) \)
Configura cada uno de los factores de \( p(x) \) a cero para encontrar las raíces.
\( x = \pm \sqrt 5 , x = \dfrac{1}{3} , x = - 2 \)
Pregunta 3
El polinomio \( p \) está dado por \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3 \)
a) Muestra que \( x = 1 \) es una raíz de multiplicidad \( 2 \).
b) Encuentra todas las raíces de \( p \).
c) Dibuja un posible gráfico para \( p \).
solución
a) Si \( x = 1 \) es una raíz de multiplicidad \( 2 \), entonces \( (x - 1)^2 \) es un factor de \( p(x) \) y la división de \( p(x) \) por \( (x - 1)^2 \) debe dar un resto igual a \( 0 \). Una división larga da:
El resto en la división de \( p(x) \) por \( (x - 1)^2 \) es igual a \( 0 \) y, por lo tanto, \( x = 1 \) es una raíz de multiplicidad \( 2 \).
b) Usando la división anterior, \( p(x) \) ahora se puede escribir en forma factorizada de la siguiente manera
\( p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) \)
Factoriza la expresión cuadrática \( x^2 - 3.
\( p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) \)
Las raíces se encuentran resolviendo la ecuación.
\( p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) = 0 \)
Para que \( p(x) \) sea igual a cero, necesitamos tener
\( (x - 1)^2 = 0 \) , o \( x - \sqrt 3 = 0 \) , o \( x + \sqrt 3 = 0 \)
Resuelve cada una de las ecuaciones anteriores para obtener las raíces de \( p(x) \).
\( x = 1 \) (multiplicidad \( 2 \) ) , \( x = \sqrt 3 \) y \( x = - \sqrt 3 \)
c) Con la ayuda de la forma factorizada de \( p(x) \) y sus raíces encontradas anteriormente, ahora creamos una tabla de signos.
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Utilizamos las raíces de \( p(x) \), que gráficamente se muestran como intersecciones en el eje \( x \), la tabla de signos y la intersección en el eje \( y \) (0 , -3) para completar el gráfico como se muestra a continuación.
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Pregunta 4
Usa el Teorema de Raíces Racionales para determinar todas las raíces racionales del polinomio \( p(x) = 6x^3-13x^2+x+2 \).
solución
Teorema de Raíces Racionales: Si \( p(x) \) es un polinomio con coeficientes enteros y si \( \dfrac{m}{n} \) (en términos más bajos) es una raíz de \( p(x) \), entonces \( m \) es un factor del término constante \( 2 \) de \( p(x) \) y \( n \) es un factor del coeficiente líder \( 6 \) de \( p(x) \).
Encuentra los factores de \( 2 \) y \( 6 \).
Factores de \( 2 \): \( \quad \pm 1 \) , \( \pm 2 \)
Factores de \( 6 \): \( \quad \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 6 \)
Posibles ceros: divide los factores de \( 2 \) por los factores de \( 6 \): \( \quad \pm 1 , \pm \dfrac{1}{2} , \pm \dfrac{1}{3} , \pm \dfrac{1}{6} , \pm 2 , \pm \dfrac{2}{3} \)
Debido a la larga lista de posibles ceros, graficamos el polinomio y adivinamos los ceros a partir de la ubicación de las intersecciones \( x \). A continuación se muestra el gráfico del polinomio dado \( p(x) \) y podemos ver fácilmente que los ceros están cerca de \( - \dfrac{1}{3} \), \( \dfrac{1}{2} \) y \( 2 \).
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Calculamos ahora \( p(-\dfrac{1}{3}), p(\dfrac{1}{2}) \) y \( p(2) \) para finalmente comprobar si estos son los ceros exactos de \( p(x) \).
\( p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 \)
Hemos utilizado el Teorema de Raíces Racionales y la gráfica del polinomio dado para determinar los \( 3 \) ceros del polinomio dado que son \( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \) y \( 2 \).
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