Producto Escalar y Cruz de Vectores 3D

El producto escalar (o producto punto) y el producto cruz de vectores 3D se definen y sus propiedades se discuten y se utilizan para resolver problemas en 3D.

Producto Escalar (o producto punto) de Dos Vectores

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) es una cantidad escalar definida por:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = || \vec{u} || \, || \vec{v} || \cos \theta\)

donde \( || \vec{u} || \) es la magnitud del vector \( \vec{u} \), \( || \vec{v} || \) es la magnitud del vector \( \vec{v} \) y \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \).
Si se conocen las componentes de los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \): \( \vec{u} = (u_x , u_y ,u_z)\) y \( \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) \), se puede demostrar que el producto escalar se puede expresar de la siguiente manera:
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \)

Teoremas sobre Productos Escalares

Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son vectores y \( k \) es un escalar, entonces
1) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
2) \( \vec{u} \cdot (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
3) \( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u} ||^2 \)
4) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \; \) si y solo si \( \; \theta = \pi/2 \), si tanto \( \vec{u} \) como \( \vec{v} \) son vectores distintos de cero.
5) \( (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) \)
6) \(|\vec{u} \cdot \vec{v} | \le ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \)
7) \(||\vec{u} + \vec{v} || \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| \)

Ejemplo 1

Aproxima, al grado más cercano, el ángulo entre los vectores \( \vec{v} = \lt -2,3,1> \text{y} \; \vec{u} = \lt 0,-1,4>\).

solución


Expresa el producto escalar de los dos vectores utilizando la magnitud y el ángulo \( \theta \) entre ellos y las coordenadas de la siguiente manera:
\( \vec{v} \cdot \vec{u} = ||\vec{v} || || \vec{u} || \cos \theta = (-2)(0) + (3)(-1) + (1)(4) = 1 \)
\( ||\vec{v} || = \sqrt{(-2)^2+3^2+1^2} = \sqrt{14}\)
\( ||\vec{u} || = \sqrt{0^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{17} \)
\( \cos\theta = \dfrac{1}{||\vec{v} || || \vec{u} ||} = \dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} \)
\( \theta = \arccos(\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} ) \approx 86^{\circ}\)

Más explicaciones sobre cómo encontrar el ángulo entre vectores en un video.

Ejemplo 2

Encuentra \( a \) para que los vectores \( \lt a,-6,3 \gt \) y \( \lt 1,0,-2> \) sean perpendiculares.

solución


Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero.
\( \lt a,-6,3 \gt \cdot \lt 1,0,-2> = a(1) + (-6)(0)+(3)(-2) = a - 6 = 0 \)
Resuelve para \( a \)
\( a = 6\)

Proyección Escalar y Vectorial de un Vector sobre Otro

En muchas aplicaciones, es importante encontrar el componente de un vector en la dirección de otro vector. Como se muestra a continuación, el vector \( \vec{u}\) se proyecta sobre el vector \( \vec{v}\) dejando caer una perpendicular desde el punto terminal de \( \vec{u}\) hasta la línea a través de \( \vec{v}\). El componente de \( \vec{u}\) a lo largo de \( \vec{v}\) es una cantidad escalar llamada proyección escalar y se da por

\( \text{comp}_{\vec{v}}\vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \)
.
La proyección vectorial de \( \vec{u}\) en \( \vec{v}\) es una cantidad vectorial obtenida multiplicando el componente \( \text{comp}_{\vec{v}}\vec{u} \) por el vector unitario en la dirección del vector \( \vec{v}\) y se da por
\( \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||v||^2} \vec{v}\)
.

proyección de vector sobre otro vector

Producto Cruz (o vectorial) de Dos Vectores

El producto cruz (o producto vectorial) de dos vectores \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) y \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \) es una cantidad vectorial definida por:

\( \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}u_x & u_z\\ v_x & v_z\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}u_x & u_y\\ v_x & v_y\end{vmatrix}} \vec{k}\)

El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular tanto a \( \vec{v} \) como a \( \vec{u} \)

producto cruz de dos vectores


La regla de la mano derecha, para encontrar la dirección del producto cruz, es la siguiente: apunta el índice en la dirección de \( \vec{u} \), el dedo medio en la dirección de \( \vec{v} \) y la dirección del producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es en la misma dirección que el pulgar.

regla de la mano derecha


Teoremas sobre Productos Cruz

Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son vectores y \( k \) es un escalar, entonces
1) El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular tanto a \( \vec{v} \) como a \( \vec{u} \)
2) \( \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u} \)
3) \( \vec{u} \times \vec{v} = 0 \) si y solo si \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son paralelos, si tanto \( \vec{u} \) como \( \vec{v} \) son vectores distintos de cero.
4) \( \vec{u} \times (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{v} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{w} \)
5) \( (k \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \times \vec{v} ) \)
6) \( ||\vec{u} \times \vec{v} || = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin \theta\) , donde \( \theta \) es el ángulo entre \( \vec{u}\) y \( \vec{v} \).

Área de un Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero (4 lados) con lados opuestos paralelos. En la figura a continuación se muestra el paralelogramo A, B, C y D. Por lo tanto, tenemos igualdad entre los vectores.
\( \vec{AB} = \vec{DC} \) y \( \vec{AD} = \vec{BC} \)
El área del paralelogramo se da por \( || \vec{AB} \times \vec{AD} || \)

definición de paralelogramo y la fórmula de su área


El área de un triángulo se puede calcular como la mitad del área del paralelogramo correspondiente.

Volumen de un Paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por 6 paralelogramos como se muestra en la figura a continuación. Tenemos igualdad entre varios vectores.
\( \vec{AE} = \vec{DH} = \vec{CG} = \vec{BF} = \vec{u} \)
\( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{v}\)
\( \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{w}\)
El volumen V del paralelepípedo se da por
V \( = |\vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = | \vec{v}\cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = | \vec{w}\cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \)

definición de paralelepípedo y la fórmula de su volumen

Ejemplo 3

Calcule el producto cruz de los vectores \( \vec{u} = \lt 1,1,3 \gt\) y \( \vec{v} = \lt 1,0,2 \gt\).

Un video sobre cómo encontrar el Producto Cruz de Dos Vectores con explicaciones detalladas.

Solución


\( \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 3\\ 1 & 2\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1& 0\end{vmatrix}} \vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} -\vec{k} \)

Ejemplo 4

Encuentre dos vectores unitarios perpendiculares a los vectores \( \vec{u} = \lt 1,-2,1 \gt\) y \( \vec{v} = \lt -2,0,4> \).

Solución


El producto cruz \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \) es un vector perpendicular a ambos vectores \( \vec{u} \; \text{y} \; \vec{v} \).
Calculemos \( \vec{u} \times \vec{v} \) de la siguiente manera:
\( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & -2\\ -2 & 0\end{vmatrix}} \vec{k} = -8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k} \)

Ahora necesitamos encontrar un vector unitario \( \vec{u_1} \) en la misma dirección que \( \vec{w} \) y se da por
\( \vec{u_1} = \dfrac{1}{||\vec{w}||} \vec{w}\)
y un segundo vector unitario \( \vec{u_2} \) en la dirección opuesta a \( \vec{w} \) y se da por
\( \vec{u_2} = -\vec{u_1}\)
\( ||\vec{w}|| = \sqrt{(-8)^2+(- 6)^2+(- 4)^2 } = 2\sqrt{29}\)
\( \vec{u_1} = \dfrac{1}{2\sqrt{29}} (-8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k}) = -\dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} -\dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}-\dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\)
\( \vec{u_2} = \dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} + \dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}+ \dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\)

Ejemplo 5

Explique por qué las siguientes afirmaciones no son verdaderas.
a) \( \vec{u} \times \vec{u} = ||\vec{u}||^2\)
b) \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} )= (\vec{u} \cdot \vec{u}) \times \vec{w} \)

Solución


a) El lado izquierdo \( \vec{u} \times \vec{u} \) es un producto cruz y el resultado es un vector. El lado derecho \( ||\vec{u}||^2\) es una cantidad escalar. Un vector y un escalar no se pueden comparar.
b) El lado izquierdo \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} ) \) es un producto escalar de \( \vec{u} \) y \( (\vec{u} \times \vec{w} ) \) y el resultado es un escalar. El lado derecho es el producto de una cantidad escalar \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) y el vector \( \vec{w} \) y el resultado es un vector. Un escalar y un vector no se pueden comparar.

Responde las siguientes preguntas

Solutions y explicaciones detalladas aquí.
1) Calcule \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) dado que \( \vec{u} = \lt a,b,c \gt \) y \( \vec{v} = \lt d,e,f \gt \).
2) Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \lt -2,-k,1 \gt \) y \( \vec{v} = \lt 8,-2,-3 > \) sean perpendiculares.
3) Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \lt -3,2,-2 \gt \), \( \vec{v} = \lt 2,1,k> \) y \( \vec{w} = \lt -1,3,-5> \) estén en el mismo plano (o coplanares).
4) Encuentra el ángulo \( \theta \) entre los vectores \( \vec{u} = \lt 2,0,1 \gt \) y \( \vec{v} = \lt 8,-2,-3 > \).
5) Encuentra la proyección vectorial de \( \vec{u} = \lt -1,-1,1 \gt \) en \( \vec{v} = \lt 2,1,1 > \).
6) Encuentra \( k \) para que los puntos \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) y \( C(1,3,6) \) sean los vértices de un triángulo rectángulo con un ángulo recto en \( A \).
7) Dado el vector \( \vec{v} = \lt 3,-1,-2 \gt \), encuentra el vector \( \vec{u} \) tal que \( \vec{v} \times \vec{u} = \lt 4,2,5 > \) y \( ||\vec{u}|| = 3\))
8) Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo.
a) Encuentra las coordenadas del punto D.
b) Encuentra el área del paralelogramo.

paralelogramo en 3D


9) En el cubo de abajo, encuentra el ángulo entre las diagonales AG y BH.

cubo


10) Encuentra un vector que sea ortogonal al plano que contiene los puntos A(1,2,-3), B(0,-2,1) y C(-2,0,1).
11) Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,0,-3), B(1,-2,0) y C(0,2,1).
12) Encuentra el volumen del paralelepípedo mostrado abajo.

volumen de paralelepípedo definido por puntos


Solutions y explicaciones detalladas aquí.

Más Referencias y Enlaces

Producto Cruz de Vectores 3D
Producto Cruz de Dos Vectores - Calculadora
Producto Punto de Dos Vectores y Aplicaciones
Matemáticas de Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
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