Simplificar Funciones Trigonométricas Inversas

Cómo simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas inversas para matemáticas de grado 12. También se incluyen preguntas con soluciones detalladas.

Preguntas con Soluciones

Pregunta 1

Simplifica las expresiones:
a) sin(arcsin(x)) y arcsin(sin(x))
b) cos(arccos(x)) y arccos(cos(x))
c) tan(arctan(x)) y arctan(tan(x))
Solución
a) sin y arcsin son inversas entre sí, por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas se pueden utilizar para escribir
sin(arcsin(x)) = x, para -1 ≤ x ≤ 1
arcsin(sin(x)) = x, para x ∈ [-π/2, π/2]
NOTA: Si x en arcsin(sin(x)) no está en el intervalo [-π/2, π/2], encuentra θ en el intervalo [-π/2, π/2] tal que sin(x) = sin(θ) y luego simplifica arcsin(sin(x)) = θ;
b) cos y arccos son inversas entre sí, por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas se pueden utilizar para escribir
cos(arccos(x)) = x, para -1 ≤ x ≤ 1
arccos(cos(x)) = x, para x ∈ [0, π]
NOTA: Si x en arccos(cos(x)) no está en el intervalo [0/2, π], encuentra θ en el intervalo [0, π] tal que cos(x) = cos(θ) y luego simplifica arccos(cos(x)) = θ;
c) tan y arctan son inversas entre sí, por lo tanto, las propiedades de las funciones inversas se pueden utilizar para escribir
tan(arctan(x)) = x
arctan(tan(x)) = x, para x ∈ (-π/2, π/2)
NOTA: Si x en arctan(tan(x)) no está en el intervalo (-π/2, π/2), encuentra θ en el intervalo (-π/2, π/2) tal que tan(x) = tan(θ) y luego simplifica arctan(tan(x)) = θ;

Pregunta 2

Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:
sin(arccos(x)) y tan(arccos(x))
Solución
Sea A = arccos(x). Por lo tanto, Y puede escribirse como
Y = sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A)
sin(A) = sin(arccos(x)) = x
cos(A) = cos(arccos(x)) = √(1 - x2)
Y = 2x√(1 - x2)     para x ∈ [-1, 0) ∪ (0, 1]

Pregunta 3

Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:
cos(arcsin(x)) y tan(arcsin(x))
Solución
Sea A = arcsin(x). Por lo tanto, Y puede escribirse como
Y = sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A)
sin(A) = sin(arcsin(x)) = x
cos(A) = cos(arcsin(x)) = √(1 - x2)
Y = 2x√(1 - x2)     para x ∈ (-1, 1)

Pregunta 4

Expresa lo siguiente como expresiones algebraicas:
sin(arctan(x)) y cos(arctan(x))
Solución
Sea A = arctan(x). Por lo tanto, Y puede escribirse como
Y = sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A)
sin(A) = sin(arctan(x)) = x / √(1 + x2)
cos(A) = cos(arctan(x)) = 1 / √(1 + x2)
Y = 2x / √(1 + x2)     para x ∈ ℝ

Pregunta 5

Simplifica las siguientes expresiones:
a) arccos(0), arcsin(-1), arctan(-1)
b) sin(arcsin(-1/2)), arccos(cos(π/2)), arccos(cos(-π/2))
c) cos(arcsin(-1/2)), arcsin(sin(π/3)), arcsin(tan(3π/4))
d) arccos(tan(7π/4)), arcsin(sin(13π/3)), arctan(tan(-17π/4)), arcsin(sin(9π/5))
Solución
a) Usa definiciones.
arccos(0) = π/2 porque cos(π/2) = 0 y π/2 está dentro del rango de arccos, que es [0, π]
arcsin(-1) = -π/2 porque sin(-π/2) = -1 y -π/2 está dentro del rango de arcsin, que es [-π/2, π/2]
arctan(-1) = -π/4 porque tan(-π/4) = -1 y -π/4 está dentro del rango de arctan, que es (-π/2, π/2)
b) Simplifica funciones internas y luego las funciones externas usando definiciones.
sin(arcsin(-1/2)) = sin(-π/6) = -1/2
arccos(cos(π/2)) = arccos(0) = π/2
arccos(cos(-π/2)) = arccos(0) = π/2
c) Simplifica funciones internas y luego las funciones externas usando definiciones.
cos(arcsin(-1/2)) = cos(-π/6) = √3/2
arcsin(sin(π/3)) = arcsin(√3/2) = π/3
arcsin(tan(3π/4)) = arcsin(-1) = -π/2
d) Simplifica funciones internas y luego las funciones externas usando definiciones.
arccos(tan(7π/4)) = arccos(-1) = π;
arcsin(sin(13π/3)) = arcsin(sin(4π + π/3)) = arcsin(sin(π/3)) = π/3
arctan(tan(-17π/4)) = arctan(tan(-4π-π/4)) = arctan(tan(-π/4)) = -π/4
arcsin(sin(9π/5)) = arcsin(sin(2π - π/5)) = arcsin(sin(-π/5)) = -π/5

Pregunta 6

Sea A = arcsin(2/3) y B = arccos(-1/2). Encuentra el valor exacto de sin(A + B).
Solución
Usa la identidad sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) para expandir la expresión dada.
sin(A + B) = sin(arcsin(2/3))cos(arccos(-1/2)) + cos(arcsin(2/3))sin(arccos(-1/2))
Usa las identidades anteriores para simplificar cada término en la expresión anterior.
sin(arcsin(2/3)) = 2/3 (Usamos sin(arcsin(x)) = x)
cos(arccos(-1/2)) = -1/2 (Usamos cos(arccos(x)) = x)
cos(arcsin(2/3)) = √(1 - (2/3)²) = √5/3 (Usamos cos(arcsin(x)) = √(1 - x²))
sin(arccos(-1/2)) = √(1 - (-1/2)²) = √3/2 (Usamos sin(arccos(x)) = √(1 - x²)) Sustituye y calcula.
sin(A + B) = (2/3)(-1/2) + (√5/3)(√3/2) = -1/3 + √15/6

Pregunta 7

Escribe Y = sin(2 arcsin(x)) como una expresión algebraica.
Solución
Sea A = arcsin(x). Por lo tanto, Y puede escribirse como
Y = sin(2 A)
Usa la identidad sin(2 A) = 2 sin(A)cos(A) para reescribir Y de la siguiente manera:
Y = 2 sin(A) cos(A) = 2 sin(arcsin(x)) cos(arcsin(x))
Usa las identidades sin(arcsin(x)) = x y cos(arcsin(x)) = √(1 - x²) para reescribir Y de la siguiente manera:
Y = 2x√(1 - x²)

Pregunta 8

Encuentra el valor exacto de Y = sin(2 arctan(3/4)).
Solución
Sea A = arctan(3/4). Por lo tanto, Y puede escribirse como
Y = sin(2 A) = 2 sin(A) cos(A)
sin(A) = sin(arctan(3/4)) = (3/4) / √(1 + (3/4)2) = 3/5
cos(A) = cos(arctan(3/4)) = 1 / √(1 + (3/4)2) = 4 / 5
Y = 2 (3 / 5)(4 / 5) = 24 / 25

Más referencias y enlaces

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