Se discute el trazado de las funciones seno y
coseno
en la forma
y = a sin( k ( x - d)) + c y y = a cos( k ( x - d)) + c
con ejemplos que incluyen soluciones detalladas.
Parámetros de las gráficas
Amplitud = |a|
Período = 2π/|k|
Desplazamiento horizontal (traslación) = d, a la izquierda si (- d) es positivo y a la derecha si (- d) es negativo.
Desplazamiento vertical (traslación) = c, hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo.
Círculo unitario
Para esbozar funciones seno y coseno transformadas, necesitamos saber cómo esbozar funciones seno y coseno básicas. El círculo unitario (radio = 1) proporciona los valores de sen(x) y cos(x) en 5 puntos clave que se pueden usar para graficar funciones seno y coseno más complejas. Las coordenadas de cualquier punto en el círculo unitario dan el coseno y el seno del ángulo en posición estándar correspondiente a ese punto.
Ejemplos
A la rotación de 0 le corresponde el punto (1,0) = (cos(0),sen(0))
A la rotación de π/2 (o 90°) le corresponde el punto (0,1) = (cos(π/2),sen(π/2))
A la rotación de π (o 180°) le corresponde el punto (-1,0) = (cos(π),sen(π))
A la rotación de 3π/2 (o 270°) le corresponde el punto (0,-1) = (cos(3π/2), sen(3π/2))
A la rotación de 2π (o 360°) le corresponde el punto (1,0) = (cos(2π),sen(2π)) como se muestra a continuación.
Trazado de funciones seno y coseno: Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1
Dibuja la gráfica de y = 2 cos(x) + 1 en un período.
Solución Parámetros de las gráficas
Amplitud = |2| = 2
Período = 2π
Desplazamiento vertical (traslación) = 1, hacia arriba 1 unidad.
Desplazamiento horizontal (traslación) = 0
Comenzamos dibujando y = cos(x) utilizando los valores de x e y del círculo unitario (gráfica azul abajo).
x = 0
π/2
π
3π/2
2π
y = 1
0
-1
0
1
Luego trazamos y = 2 cos(x) estirando y = cos(x) por 2 (gráfica verde abajo) y finalmente y = 2 cos(x) + 1 trasladando hacia arriba 1 unidad (gráfica roja abajo).
Ejemplo 2
Dibuja la gráfica de y = - 2 sen(x) - 1 en un período.
Solución Parámetros de las gráficas
Amplitud = |-2| = 2
Período = 2π
Desplazamiento vertical (traslación) = -1, hacia abajo 1 unidad.
Desplazamiento horizontal (traslación) = 0
Comenzamos dibujando y = sen(x) utilizando los valores de x e y del círculo unitario (gráfica azul abajo).
x = 0
π/2
π
3π/2
2π
y = 0
1
0
- 1
0
Luego trazamos y = - 2 sen(x) estirando y = sen(x) por 2 y reflejándolo en el eje x (gráfica verde abajo) y finalmente y = - 2 sen(x) - 1 trasladando hacia abajo 1 unidad (gráfica roja abajo).
Ejemplo 3
Dibuja la gráfica de y = 3 cos(2 x + π/3) - 1 en un período.
Solución Parámetros de las gráficas
Amplitud = |3| = 3
Período = 2π/2 = π
Desplazamiento vertical (traslación) = -1, hacia abajo 1 unidad.
Desplazamiento horizontal: Debido al término π/3, la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: y = 3 cos [ 2( x + π/6)] - 1 y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a π/6 hacia la izquierda.
Comenzamos dibujando 3 cos(2 x) con valores mínimos y máximos - 3 y + 3 en un período = π (gráfica azul abajo).
Luego trazamos y = 3 cos(2 x) - 1 traduciendo la gráfica anterior 1 unidad hacia abajo (gráfica verde abajo). Ahora desplazamos la gráfica anterior π/6 hacia la izquierda (gráfica roja abajo) para que el período trazado comience en -π/6 y termine en -π/6 + π = 5π/6, que es un intervalo igual a un período.
Ejemplo 4
Dibuja la gráfica de y = - 0.2 sen(0.5 x - π/6) + 0.1 en un período.
Solución Parámetros de las gráficas
Amplitud = |- 0.2| = 0.2
Período = 2π/0.5 = 4π
Desplazamiento vertical (traslación) = 0.1, hacia arriba 0.1 unidad.
Desplazamiento horizontal: Debido al término - π/6, la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: y = - 0.2 sen [ 0.5( x - π/3)] + 0.1 y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a π/3 hacia la derecha.
Comenzamos dibujando - 0.2 sen(0.5 x) con valores mínimos y máximos - 0.2 y + - 0.2 en un período = 4 π (gráfica azul abajo).
Luego trazamos y = - 0.2 sen(0.5 x) + 0.1 traduciendo la gráfica anterior 0.1 unidad hacia arriba (gráfica verde abajo). Luego desplazamos la gráfica anterior π/3 hacia la derecha (gráfica roja abajo) para que el período trazado comience en π/3 y termine en π/3 + 4π, que es un intervalo igual a un período.
Ejemplo 5
Dibuja el gráfico de y = 2 cos(2 x - 60°) - 2 durante un período.
Solución Parámetros de la gráfica
Amplitud = |2| = 2
Desplazamiento vertical (traslación) = -2, hacia abajo 2 unidades.
Período = 360/2 = 180°
Desplazamiento horizontal: Debido al término -60°, la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: y = 2 cos[2( x - 30°)] - 2 y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a 30° a la derecha.
Comenzamos dibujando y = 2 cos(2 x) con valores mínimo y máximo de -2 y +2 durante un período = 180° (gráfica azul a continuación).
Luego dibujamos y = 2 cos(2 x) - 2 trasladando la gráfica anterior 2 unidades hacia abajo (gráfica verde a continuación). Luego desplazamos la gráfica anterior 30° a la derecha (gráfica roja a continuación) para que el período dibujado comience en 30° y termine en 30° + 180° = 210°, que es un período = 180°.
Ejemplo 6
Dibuja el gráfico de y = - 2 sin(x/3 + π/3) - 1 durante un período.
Solución Parámetros de la gráfica
Amplitud = |-2| = 2
Período = 2π/(1/3) = 6π
Desplazamiento vertical (traslación) = -1, hacia abajo 1 unidad.
Desplazamiento horizontal: Debido al término π/3, la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: y = - 2 sin[(1/3)(x + π)] - 1 y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a π a la izquierda.
Comenzamos dibujando -2 sin(x/3) con valores mínimo y máximo de -2 y +2 durante un período = 6π (gráfica azul a continuación).
Luego dibujamos y = -2 sin(x/3) - 1 trasladando la gráfica anterior 1 unidad hacia abajo (gráfica verde a continuación). Luego desplazamos la gráfica anterior π a la izquierda (gráfica roja a continuación) para que el período dibujado comience en -π y termine en 5π, que es un período = 6π.
