Problemas y preguntas de trigonometría con soluciones - Grado 12
\( \) \( \)\( \)\( \)Se presentan problemas de trigonometría y preguntas de grado 12 con respuestas y soluciones.
Resuelve las siguientes preguntas
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probar la identidad
\( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) \)
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probar la identidad
\( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) \)
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probar la identidad
\( 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} \)
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Resolver la ecuación trigonométrica dada por
\( \sin(x) + \sin(x/2) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
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Resolver la ecuación trigonométrica dada por
\( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
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Resolver la ecuación trigonométrica dada por
\( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
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Simplifique la expresión trigonométrica dada por
\( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } \)
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Pruebalo
\( \sin(105^{\circ}) = \dfrac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4} \)
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Si \( \sin(x) = \dfrac{2}{5}\) y x es un ángulo agudo, encuentre los valores exactos de
a) \( \cos(2x) \)
b) \( \cos(4x) \)
c) \( \sin(2x) \)
d) \( \sin(4x) \)
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Encuentra la longitud del lado AB en la siguiente figura. Redondea tu respuesta a 3 dígitos significativos.
Soluciones a los problemas anteriores
-
Empezamos con el lado izquierdo de la identidad dada
Usa la identidad \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) en el lado izquierdo de la identidad dada.
\( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{ \sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \sin^2(x) \tan^2(x) \) que es igual al lado derecho de la identidad dada. -
Usa las identidades \( \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \) y \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) en el lado izquierdo de la identidad dada.
\( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} \)
\( = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x)) } \) \( = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
\( = \cot(x) \) que es igual al lado derecho de la identidad dada. -
Usa la identidad \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) para escribir \( \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \) a la derecha lado derecho de la identidad dada.
\( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)}\)
\( = 2 \sin(2x) \)
\( = 2 \times 2 \sin(x) \cos(x) \)
\( = 4 \sin(x) \cos(x) \) que es igual al lado izquierdo de la identidad dada. -
Usa la identidad \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) para escribir \( \sin(x) \) como
\( \sin(x) = \sin(2 \times x/2) = 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) \)
y use en el lado derecho de la ecuación dada para escribirla de la siguiente manera
\( 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) + \sin(x / 2) = 0 \)
Factorizar \( \sin(x / 2) \)
\( \sin(x/2) ( 2 \cos(x/2) + 1 ) = 0 \)
lo que da dos ecuaciones para resolver
\( \sin(x/2) = 0 \) o \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \)
a) La ecuación \( \sin(x / 2) = 0 \) tiene las soluciones \( x / 2 = 0 \) o \( x / 2 = \pi \)
Resolver x para obtener las soluciones: \( x = 0 \) o \( x = 2 \pi \)
b) La ecuación \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \) conduce a \( \cos(x/2) = -1/2 \) que tiene las soluciones \( x/2 = 2 \pi/ 3 \) y \( x/2 = 4 \pi/3 \)
Resolver x para obtener las soluciones: \( x = 4 \pi/3 \) y \( x = 8 \pi/3 \)
Tenga en cuenta que \( 8 \pi/3 \) es mayor que \( 2 \pi \) y, por lo tanto, no se acepta. Las soluciones finales para la ecuación dada son: \( \{ 0 , 4 \pi/3 , 2 \pi \} \) -
La ecuación dada ya está factorizada
\( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \)
lo que conduce a dos ecuaciones
\( 2\sin(x) - 1 = 0 \) o \( \tan(x) - 1 = 0 \)
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como
\( \sin(x) = 1/2 \) o \( \tan(x) = 1 \)
Las soluciones de \( \sin(x) = 1/2 \) son soluciones: \( x = \pi/6 \) y\( x = 5 \pi/6 \)
Las soluciones de \( \tan(x) = 1 \) son: \( x = \pi /4 \) y \( x = 5 \pi/4 \)
Las soluciones de la ecuación dada dentro del intervalo dado son: \( \{\pi/6, 5 \pi/6 , \pi /4 , 5 \pi/4 \}\) -
Usa la fórmula para \( \cos(A + B) \) para escribir
\( \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) \) .
Por lo tanto, la ecuación dada
\( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \)
puede escribirse como
\( \cos(3x) = 0 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( 3x \) para obtener:
\( 3x = \pi/2 \), \( 3x = 3\pi/2 \), \( 3x = 5\pi/2 \), \( 3x = 7\pi/2 \), \( 3x = 9\pi/2 \) y \( 3x = 11\pi/2 \)
Resuelva lo anterior para x para obtener las soluciones: \( \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 7\pi/6, 3\pi/2 , 11\pi/6 \} \ ) -
Usa las identidades \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) y \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) para reescribir la expresión dada como sigue
\( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } = \dfrac{ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos (x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1 } \)
Simplifica el lado derecho y factoriza el numerador y el denominador
\( = \dfrac{\cos(x)( 2 \sin(x) -1) }{ \sin(x)( - 2 \sin(x) + 1) } \)
Simplificar
\( = - \dfrac{\cos(x)}{ \sin(x)} \)
\( = - \cot(x) \)
-
\( 105^{\circ} \) se puede escribir como la suma de dos ángulos especiales de la siguiente manera:
\( 105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}\)
Por eso
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \)
Usa las identidades \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ}) \sin(45^{ \circ}) \)
Usar tabla de ángulos especiales
\( = (\sqrt {3} / 2 )(\sqrt {2}/2) + (1/2)(\sqrt {2}/2) \)
\( = \dfrac{ \sqrt {6} + \sqrt {2} } {4} \) -
Si \( \sin(x) = 2/5 \) entonces \( \cos(x) = \sqrt {1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - (2/5)^2} = \ sqrt{21}/5 \)
a) Usar identidad: \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) = 17/25 \)
b) Usar identidad: \( \cos(4x) = 1 - 2 \sin^2(2 x) \)
\( = 1 - 2 [ 2\sin(x) \cos(x) ]^2 \)
\( = 457 / 625 \)
c) \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) = 4 \sqrt{21}/25 \)
d) \( \sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \cos(2x) \sin(2x) \)
\( = 2 (17/25)(4 \sqrt{21}/25) = 136 \sqrt{21} / 625 \)
-
Tenga en cuenta que el triángulo \( DAC \) es isósceles y, por lo tanto, si dibujamos la perpendicular de D a AC, dividirá AC en dos mitades y bisecará el ángulo D. Por lo tanto,
\( (1/2) AC = 10 \sin(35^{\circ}) \)
lo que da
\( AC = 20 \sin(35^{\circ}) \)
Tenga en cuenta que los dos ángulos internos B y C del triángulo ABC suman \( 90^{\circ} \) y, por lo tanto, el tercer ángulo del triángulo ABC es un ángulo recto. Por lo tanto, podemos escribir
\( \tan(32^{\circ}) = AB / AC \)
Lo que da
\( AB = CA \tan(32^{\circ}) \)
\( = 20 \sin(35^{\circ})\tan(32^{\circ}) = 7,17 \quad \) (redondeado a 3 dígitos significativos)
Referencias y enlaces
Matemáticas de secundaria (grados 10, 11 y 12): preguntas gratuitas y problemas con respuestasMatemáticas de la escuela intermedia (grados 6, 7, 8, 9): preguntas gratuitas y problemas con respuestas
Matemáticas primarias (grados 4 y 5) con preguntas gratuitas y problemas con respuestas
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