Resolver Preguntas de Ecuaciones Trigonométricas con Soluciones Detalladas
Se presentan formas de resolver ecuaciones trigonométricas con soluciones detalladas junto con una interpretación gráfica.
Pregunta 1
Encuentra todas las soluciones de la ecuación
sin(x) = 1 / 2
en el intervalo [0 , 2π) y explica las soluciones gráficamente usando un círculo unitario y el gráfico de sin (x) - 1/2 en un sistema de coordenadas rectangulares.
Solución
sin(x) es positivo en los cuadrantes I y II, por lo tanto, la ecuación dada tiene dos soluciones.
En el cuadrante I, la solución para sin(x) = 1 / 2 es x = π / 6. (verde en el círculo unitario)
En el cuadrante II, y por simetría del círculo unitario, la solución para sin(x) = 1 / 2 es x = π - π / 6 = 5π/6 (marrón en el círculo unitario)
Las soluciones gráficas de la ecuación sin(x) = 1 / 2 se obtienen escribiendo primero la ecuación con el lado derecho igual a cero sin(x) - 1 / 2 = 0. Luego, grafica el lado izquierdo de la ecuación y las soluciones de la ecuación son las intersecciones x de la gráfica de f(x) = sin(x) - 1 / 2, como se muestra a continuación. Es fácil verificar que las dos intersecciones x en el gráfico de abajo están cerca de las soluciones analíticas encontradas anteriormente: π / 6 y 5π/6.
Pregunta 2
Encuentra todas las soluciones de la ecuación
sin(x) + cos(x) = 0
en el intervalo [0 , 2π) y explica las soluciones gráficamente usando el círculo unitario y el gráfico de sin (x) + cos(x) en un sistema de coordenadas rectangulares.
Solución
La ecuación se puede escribir como: sin(x) = -cos(x).
Divide ambos lados de la ecuación por cos(x): sin(x)/ cos(x) = -1
Utiliza la identidad tan(x) = sin(x)/cos(x) para reescribir la ecuación como: tan(x) = - 1
Resuelve la ecuación tan(x) = - 1
tan(x) es negativo en los cuadrantes II y IV
Solución en el cuadrante II: x = 3π/4
Por simetría del círculo unitario, la solución en el cuadrante IV está dada por: 3π/4 + π = 7π / 4
Las soluciones gráficas se pueden aproximar mediante las intersecciones x del gráfico de g(x) = sin(x) + cos(x). Podemos verificar fácilmente que las dos soluciones encontradas anteriormente, 3π/4 y 7π/4, están cerca de las intersecciones x del gráfico que se muestra a continuación.
Pregunta 3
Encuentra todas las soluciones de la ecuación:
sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) = 0
y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.
Solución
Primero usamos la fórmula sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
para escribir: sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) = sin(πx / 2 - π/3)
reescribe la ecuación dada de la siguiente manera: sin(πx / 2 - π/3) = 0
Resuelve la ecuación anterior para obtener: πx / 2 - π/3 = k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Simplifica y reescribe la solución como: x = 2 k + 2/3 donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Las primeras 3 soluciones positivas son: 2/3 , 8/3 y 14/3 correspondientes a k = 0, 1 y 2. Estos valores están cerca de las intersecciones x del gráfico de f(x) = sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) que se muestra arriba.
Pregunta 4
Encuentra todas las soluciones de la ecuación: 2 sin2(x) + cos (x) = 1.
y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.
Solución
Primero usamos la identidad: sin2(x) = 1 - cos2(x)
para reescribir la ecuación como: 2(1 - cos2(x)) + cos (x) = 1
agrupa términos similares y escribe la ecuación con el lado derecho igual a cero:
-2 cos2(x) + cos (x) +1 = 0
Sea u = cos (x) y reescribe la ecuación como: -2 u2 + u +1 = 0
Resuelve para u: u = 1 y u = - 1 / 2
Primer grupo de soluciones: Resuelve u = 1 para x: u = cos (x) = 1 : x1 = 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Resuelve u = -1 / 2 para x:
cos(x) es negativo en el cuadrante II y III, por lo tanto, u = cos (x) = - 1/2 tiene dos grupos más de soluciones dadas por
Segundo grupo de soluciones: x2 = 2π/3 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Tercer grupo de soluciones: x3 = 4π/3 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Las primeras 3 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 en los tres grupos de soluciones para obtener: 0, 2π/3 y 4π/3. Estos valores están cerca de las intersecciones x del gráfico de g(x) = 2 sin2(x) + cos (x) - 1 que se muestra arriba.
Pregunta 5
Encuentra todas las soluciones de la ecuación: 6 cos2(x / 2) - cos (x) = 4.
y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.
Solución
Primero usamos la identidad: cos(x) = 2 cos2(x / 2) - 1
para reescribir la ecuación como: 6 cos2(x / 2) - (2 cos2(x / 2) - 1 ) = 4
agrupa términos similares y escribe la ecuación con el lado derecho igual a cero:
4 cos2(x / 2) = 3
cos(x / 2) = ± √3 / 2
Resuelve la primera ecuación cos(x / 2) = √3 / 2
la función coseno es positiva en el cuadrante I y IV, por lo tanto, dos grupos de soluciones:
x / 2 = π / 6 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (cuadrante I)
y
x / 2 = 11π / 6 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (cuadrante VI)
Multiplica todos los términos por 2 para obtener los dos primeros grupos de soluciones:
x1 = π / 3 + 4 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
x2 = 11π / 3 + 4 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Resuelve la segunda ecuación cos(x / 2) = - √3 / 2
La función coseno es negativa en el cuadrante II y III, por lo tanto, dos grupos de soluciones:
x / 2 = 5 π / 6 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (cuadrante II)
y
x / 2 = 7 π / 6 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (cuadrante III)
Multiplica todos los términos por 2 para obtener otros dos grupos de soluciones:
x3 = 5 π / 3 + 4 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
x4 = 7 π / 3 + 4 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Las primeras 4 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 en los cuatro grupos de soluciones para obtener: π/3 , 5π/3, 7π/3 y 11π/3. Estos valores están cerca de las intersecciones x del gráfico de f(x) = 6 cos2(x / 2) - cos (x) - 4 que se muestra arriba.
Pregunta 6
Resuelve la ecuación: tan2 ( x) + 2 sec (x) + 1 = 0.
y verifica gráficamente las primeras soluciones positivas.
Solución
Primero usamos la identidad: tan2(x) = sec2(x) - 1
para reescribir la ecuación como: sec2(x) - 1 + 2 sec (x) + 1 = 0
agrupa términos similares y escribe la ecuación con el lado derecho igual a cero:
sec2(x) + 2 sec (x) = 0
Factoriza: sec (x) (sec (x) + 2) = 0
sec (x) = 0 no tiene solución.
Resuelve : sec (x) + 2 = 0
Usa sec (x) = 1 / cos (x) para reescribir la ecuación como : cos(x) = - 1 / 2
La función coseno es negativa en el cuadrante II y III por lo tanto, dos grupos de soluciones
x1 = 2π/3 + 2 k π donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
x2 = 4π/3 + 2 k π; donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Las primeras 2 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 en los dos grupos de soluciones para obtener: 2π/3 y 4π/3. Estos valores están cerca de las intersecciones x del gráfico de f(x) = tan2 ( x) + 2 sec (x) + 1 que se muestra arriba.
Pregunta 7
Resuelve la ecuación: cos(3x) + sin(2x) = cos(x).
Solución
Primero usamos las identidades: cos(3x) = cos3(x) - 3 cos(x)sin2(x)
y
sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
para reescribir la ecuación dada de la siguiente manera: cos3(x) - 3 cos(x)sin2(x) + 2sin(x) cos(x) = cos(x)
Reescribe con el lado derecho igual a cero y factoriza cos(x)
cos(x) ( cos2(x) - 3 sin2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0
Usa la identidad cos2(x) = 1 - sin2(x) para reescribir la ecuación de la siguiente manera
cos(x) (1 - sin2(x) - 3 sin2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0
Simplifica
cos(x) (- 4 sin2(x) + 2 sin(x) ) = 0
Factoriza
2 sin(x) cos(x) (1 - 2 sin(x)) = 0
Establece cada factor igual a cero y resuelve.
sin(x) = 0 da soluciones: x1 = kπ
cos(x) = 0 da soluciones: x2 = π/2 + kπ
1 - 2 sin(x) = 0 o sin(x) = 1/2 da 2 otros grupos de soluciones.
x3 = π/6 + 2kπ
y
x4 = 5π/6 + 2kπ
Las primeras 6 soluciones positivas se obtienen estableciendo k = 0 y k = 1 en los dos primeros grupos de soluciones x1 y x2 para obtener: 0 , π, π/2, 3π/2, y k = 0 en el segundo y tercer grupo de soluciones x3 y x4 para obtener π/6 y 5π/6. Estas 6 soluciones están cerca de las intersecciones x del gráfico de f(x) = cos(3x) + sin(2x) - cos(x) que se muestra arriba.
Pregunta 8
Resuelve la ecuación: cos(3x) = cos(2x + π/4).
Solución
Usamos el hecho de que si cos(A) = cos(B), entonces A = B + 2kπ o A = - B + 2kπ para escribir:
3 x = 2 x + π/4 + 2kπ
o
3 x = -(2 x + π/4) + 2kπ
Resuelve 3 x = 2 x + π/4 + 2kπ Soluciones: x1 = π/4 + 2kπ
Resuelve 3 x = -(2 x + π/4) + 2kπ ,
da 5x = - π/4 + 2kπ
divide todos los términos por 5 : x2 = - π/20 + 2kπ / 5
donde k = 0 , ± 1 , ± 2, ... en ambos grupos de soluciones
Las 6 intersecciones x mostradas en el gráfico de f(x) = cos(3x) - cos(2x + π/4) corresponden a las soluciones k = 0 en el primer grupo x1 y k = 0, 1, 2 ,3 y 4 en el segundo grupo de soluciones x2 = - π/20 + 2kπ / 5.
