Calcular Determinante Usando la Reducción de Filas
Se presentan ejemplos y preguntas con sus soluciones sobre cómo encontrar el determinante de una matriz cuadrada usando la forma escalonada. La idea principal es reducir la matriz dada a una forma triangular y luego calcular su determinante. El determinante de la matriz dada se calcula a partir del determinante de la matriz triangular teniendo en cuenta las propiedades que se enumeran a continuación.
Propiedades del Determinante y Reducción de Filas
Reducimos una matriz dada a su forma escalonada (triangular superior o triangular inferior) teniendo en cuenta las siguientes propiedades de los determinantes:
Propiedad 1: Si se suma una combinación lineal de filas de una matriz cuadrada dada a otra fila de la misma matriz cuadrada, entonces el determinante de la matriz obtenida es igual al determinante de la matriz original.
Propiedad 2: Si se intercambian dos filas de una matriz dada, entonces el determinante de la matriz obtenida es igual al determinante de la matriz original multiplicado por -1.
Propiedad 3: Si una fila de una matriz dada se multiplica por un escalar k, entonces el determinante de la matriz obtenida es igual al determinante de la matriz original multiplicado por k.
Ejemplos sobre cómo encontrar el Determinante Usando Reducción de Filas
Ejemplo 1
Combina filas y utiliza las propiedades anteriores para reescribir la matriz de 3 × 3 que se muestra a continuación en forma triangular y calcular su determinante.
Solución al Ejemplo 1
Sea D el determinante de la matriz dada.
paso 1: sumar la fila(1) a la fila(2) - ver propiedad (1) arriba - el determinante no cambia D
paso 2: restar 2 veces la fila(1) de la fila(3) - ver propiedad (1) arriba - el determinante no cambia D
paso 3: restar 2 veces la fila(2) de la fila(3) - ver propiedad (1) arriba - el determinante no cambia D
Ahora que la matriz está en forma triangular, el determinante de la matriz dada se calcula como el producto de los elementos en la diagonal principal (superior izquierda a inferior derecha).
Determinante de la matriz triangular = (2)(4)(-17) = -136 = D = Det(A)
Ejemplo 2
\( \) \( \) \( \) \( \)
Combina filas y utiliza las propiedades anteriores para reescribir la matriz de 5 × 5 que se muestra a continuación en forma triangular y calcular su determinante.
\[ A = \begin{bmatrix}
-1&0&-1&3&6\\
1&1&-1&0&4\\
1&-3&0&-2&2\\
-1&2&2&1&-3\\
0&-1&2&0&2
\end{bmatrix} \]
Solución al Ejemplo 2
Sea D el determinante de la matriz A.
Paso 1: sumamos filas a otras filas como se muestra a continuación y según la propiedad (1) el determinante no cambia D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
R_2 + R_1 \\
R_3 + R_1\\
R_4 + R_2\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&0&-1&3&6\\
0&1&-2&3&10\\
0&-3&-1&1&8\\
0&3&1&1&1\\
0&-1&2&0&2
\end{bmatrix} \]
Paso 2: sumamos múltiplos de filas a otras filas como se muestra a continuación y según la propiedad (1) el determinante no cambia D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
R_3 + 3 \times R_2\\
R_4- 3 \times R_2\\
R_5 + R_2
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&0&-1&3&6\\
0&1&-2&3&10\\
0&0&-7&10&38\\
0&0&7&-8&-29\\
0&0&0&3&12
\end{bmatrix} \]
Paso 3: sumamos una fila a otra fila como se muestra a continuación y según la propiedad (1) el determinante no cambia D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
R_4+R_3\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&0&-1&3&6\\
0&1&-2&3&10\\
0&0&-7&10&38\\
0&0&0&2&9\\
0&0&0&3&12
\end{bmatrix} \]
Paso 4: sumamos un múltiplo de una fila a otra fila como se muestra a continuación y según la propiedad (1) el determinante no cambia D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
\\
R_5 - \dfrac{3}{2} R_4
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&0&-1&3&6\\
0&1&-2&3&10\\
0&0&-7&10&38\\
0&0&0&2&9\\
0&0&0&0&-\dfrac{3}{2}
\end{bmatrix} \]
La matriz está ahora en forma triangular y su determinante está dado por el producto de las entradas en la diagonal principal
Determinante de la matriz triangular = (-1)(1)(-7)(2)(-3/2) = -21 = D = Det(A)
Nota: Compara este método de cálculo del determinante de una matriz cuadrada con el método de cofactores en determinante de una matriz cuadrada. ¿Qué método es más eficiente?
Ejemplo 3
calcula el determinante de la matriz
\[ A = \begin{bmatrix}
-1&2&4&6\\
0&0&1&7\\
-1&2&4&14\\
0&2&4&6
\end{bmatrix} \]
Solución al Ejemplo 3
Sea D el determinante de la matriz dada.
Paso 1: restar la fila (1) de la fila (3) y según la propiedad (1) el determinante no cambia.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
R_3 - R_1\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&2&4&6\\
0&0&1&7\\
0&0&0&8\\
0&2&4&6
\end{bmatrix} \]
Paso 2: intercambiar las filas (3) y (4) y según la propiedad (2) el signo del determinante cambia a - D
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\text{desde } R_4\\
\text{desde } R_3\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&2&4&6\\
0&0&1&7\\
0&2&4&6\\
0&0&0&8
\end{bmatrix} \]
Paso 3: intercambiar las filas (2) y (3) y según la propiedad (2) el signo del determinante cambia a -(- D)
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\text{desde } R_3\\
\text{desde } R_2 \\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-1&2&4&6\\
0&2&4&6\\
0&0&1&7\\
0&0&0&8
\end{bmatrix} \]
La matriz está ahora en forma triangular y su determinante está dado por el producto de las entradas en la diagonal principal
Determinante de la matriz triangular = (-1)(2)(1)(8) = -16 = -(- D) = D = Det(A)
Preguntas sobre Determinante y Reducción de Filas
Parte 1
Utiliza el método de la forma escalonada para calcular el determinante de las matrices.
\( A = \begin{bmatrix}
1&-1&-3&0&1\\
-1&0&0&1&5\\
1&-1&1&4&5\\
0&0&1&0&-1\\
1&0&1&2&2
\end{bmatrix} \)
Parte 2
El determinante de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&k
\end{bmatrix} \) es igual a D.
Encuentra el determinante, en términos de D, de las siguientes matrices
a) \( \begin{bmatrix}
2a&2b&2c\\
d&e&f\\
-3g&-3h&-3k
\end{bmatrix} \) , b) \( \begin{bmatrix}
d&e&f\\
a&b&c\\
7g&7h&7k
\end{bmatrix} \)
Soluciones a las Preguntas Anteriores
Parte 1
Sea D el determinante de la matriz A dada.
paso 1: Intercambiar fila 4 y 5; según la propiedad (2) el determinante cambia de signo a: - D.
\[ \begin{bmatrix}
1&-1&-3&0&1\\
-1&0&0&1&5\\
1&-1&1&4&5\\
1&0&1&2&2 \\
0&0&1&0&-1
\end{bmatrix} \]
paso 2: sumar múltiplos de filas a otras filas; el determinante no cambia: - D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
R_2+R_1 \\
R_3-R_1 \\
R_4-R_1\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&-1&-3&0&1\\
0&-1&-3&1&6\\
0&0&4&4&4\\
0&1&4&2&1\\
0&0&1&0&-1
\end{bmatrix} \]
paso 3: sumar un múltiplo de una fila a otra fila; el determinante no cambia: - D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
R_4+R_2\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&-1&-3&0&1\\
0&-1&-3&1&6\\
0&0&4&4&4\\
0&0&1&3&7\\
0&0&1&0&-1
\end{bmatrix} \]
paso 4: sumar múltiplos de filas a otras filas; el determinante no cambia: - D.
\[ \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
R_4-(1/4)R_3\\
R_5 - (1/4)R_3
\end{matrix}}
\begin{bmatrix}
1&-1&-3&0&1\\
0&-1&-3&1&6\\
0&0&4&4&4\\
0&0&0&2&6\\
0&0&0&-1&-2
\end{bmatrix} \]
paso 5: sumar un múltiplo de una fila a otra fila; el determinante no cambia: - D.
\[ \color{red} {\begin{matrix}
\\
\\
\\
\\
R5 + (1/2)R4
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&-1&-3&0&1\\
0&-1&-3&1&6\\
0&0&4&4&4\\
0&0&0&2&6\\
0&0&0&0&1
\end{bmatrix} \]
La matriz está ahora en forma triangular y su determinante está dado por el producto de las entradas en la diagonal principal.
Determinante de la matriz triangular = (1)(-1)(4)(2)(1) = -8 = - D
El determinante D de la matriz dada es D = 8.
Parte 2
a) la fila (1) se multiplica por 2 y la fila (3) por -3, por lo tanto, según la propiedad (3) anterior, el determinante es 2 (-3) D = -6 D.
b) las filas (1) y (2) se intercambian y la fila (3) se multiplica por 7, por lo tanto, según las propiedades (2) y (3),
el determinante es (-1) 7 D = -7 D.
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