Transpuesta de una Matriz

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Definición de la Transpuesta de una Matriz

Si M es una m × n matriz, entonces la transpuesta de M , denotada por MT , es la n × m matriz obtenida intercambiando las filas y columnas de la matriz M .
Estos son ejemplos de la transpuesta de matrices.
a)
Matriz Fila
La matriz A tiene una fila y un tamaño (u orden) 1 × 3 . La transpuesta de la matriz A se obtiene intercambiando la fila de la matriz en una columna. Por lo tanto, la transpuesta de la matriz A tiene un tamaño 3 × 1 y denotada por AT está dada por
Transpuesta Matriz Fila

b)
Matriz Columna
La transpuesta de la matriz B , que tiene una columna y un tamaño 4 × 1 , se obtiene intercambiando la columna de la matriz en una fila. Por lo tanto, la transpuesta de la matriz B tiene un orden 1 × 4 y denotada por BT está dada por
Transpuesta Matriz Columna

c)
Matriz 2 por 3
La matriz C tiene un tamaño 2 × 3 . La transpuesta de esta matriz se obtiene intercambiando las filas de la matriz en columnas (o columnas en filas). Por lo tanto, la transpuesta CT de la matriz C tiene un orden 3 × 2 y está dada por
Transpuesta de una Matriz 2 por 3

d)
\( D = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 9 \\ -7 & 0 & 9 \\ 1 & -2 & 11 \end{bmatrix} \)
La transpuesta de la matriz \( D \) con orden \( 3 \times 3 \) se obtiene intercambiando las filas de la matriz en columnas (o columnas en filas). Por lo tanto, la transpuesta \( D^T \) de la matriz \( D \) tiene un orden \( 3 \times 3 \) y está dada por
\( D^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 & 1 \\ -5 & 0 & -2 \\ 9 & 9 & 11 \end{bmatrix} \)
Nota que las filas de la transpuesta de una matriz dada son las columnas de la matriz y las columnas de la transpuesta son las filas de la matriz.


Propiedades de la Transpuesta de Matrices

Algunas de las propiedades más importantes de la transpuesta de matrices se dan a continuación.

  1.   \( (A^T)^T = A \).
  2.   \( (AB)^T = B^T A^T \)
  3.   \( (A+B)^T = A^T + B^T \)
  4.   \( (k A)^T = k A^T \) , k es un número real.
  5.   \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)
  6.   \( Det(A^T) = Det(A) \).
  7.   \( A^T = A \) si y solo si \( A \) es una matriz simétrica.
  8.   \( A^{-1} = A^T \) si y solo si \( A \) es una matriz ortogonal (cuadrada).


Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1
Encuentre la transpuesta de las matrices:
a) \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)      b) \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)      c) \( C = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 1 & -4 \\ 0 & -1 \\ 7 & -4 \end{bmatrix} \)

Solución
Encontramos la transpuesta de una matriz intercambiando las filas y columnas de la siguiente manera:
a) \( A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)      b) \( B^T = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)      c) \( C^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 & 7 \\ -7 & -4 & -1 & -4 \end{bmatrix} \)



Ejemplo 2
Las matrices \( A \) y \( B \) están dadas por \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \) , \( B = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \).
Demuestre que \( (AB)^T = B^T A^T \) (verifique la propiedad 2 anterior).

Solución
Calcule \( AB \)
\( AB = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Determine \( (AB)^T \)
\( (AB)^T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} \)

Determine \( A^T \) y \( B^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) , \( B^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
Calcule \( B^T A^T \)
\( B^T A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} \)
Por lo tanto \( (AB)^T = B^T A^T \)



Ejemplo 3
Sea la matriz \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
Demuestre que \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \) (verifique la propiedad 5 anterior).

Solución
Determine \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)
Use la fórmula de la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) \( \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz} \begin{bmatrix} w & -y \\ -z & x \end{bmatrix} \) para encontrar \( (A^T)^{-1} \)
\( (A^T)^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

Use la misma fórmula de la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) dada anteriormente para encontrar \( A^{-1} \)
\( A^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & -\dfrac{1}{2}\\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

Ahora determinamos \( (A^{-1}) ^T \)
\( (A^{-1}) ^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

Por lo tanto, concluimos que \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \).



Ejemplo 4
Sea la matriz \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
Demuestre que \( Det(A^T) = Det(A) \) (verifique la propiedad 6 anterior)

Solución
Calcule \( Det(A) \) usando la fila superior
Calcule \( Det(A) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 (0 - 2(-2) ) = 2 \)

Determine \( A^T \)
\( A^T \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
Calcule \( Det(A^T) \) usando la columna más a la izquierda
\( Det(A^T) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 ( 0 - 2(-2)) = 2 \)
Por lo tanto, concluimos que \( Det(A^T) = Det(A) \)



Ejemplo 5
Use la propiedad 7 anterior para demostrar que la matriz \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3\\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix} \) no es una matriz simétrica.

Solución
Determine \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} \)
Podemos verificar que la entrada en \( A_{2,3} = 5 \) y la entrada en \( A^T_{2,3} = -5 \), por lo tanto, las matrices \( A^T \) y \( A \) no son iguales, lo que significa que la matriz \( A \) no es simétrica.



Preguntas (con soluciones a continuación)



Soluciones a las Preguntas Anteriores



Más Referencias y Enlaces