El producto interno de x y y es una cantidad escalar escrita como x · y definida por
El producto interno, la condición de ortogonalidad y la longitud de los vectores se presentan a través de ejemplos que incluyen sus soluciones detalladas.
Sean los vectores x y y dos vectores columna (o una matriz de n x 1) definidos por
El producto interno de x y y es una cantidad escalar escrita como x · y definida por
Si x, y y z son vectores en Rn y k1 y k2 son escalares, entonces
Los vectores x y y se llaman ortogonales si
x · y = 0
\( \) \( \) \( \)
La longitud (o norma) del vector \( \textbf x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
. \\
. \\
. \\
x_n
\end{bmatrix}
\)
escrita como \( || \textbf x || \) está dada por
\[ || \textbf x || = \sqrt {x_1^2 + x_2^2 + .... + x_n^2} = \sqrt {\textbf x \cdot \textbf x} \]
A partir de la definición anterior, podemos concluir fácilmente que
\( || \textbf x || \ge 0 \) y \( || \textbf x ||^2 = \textbf x \cdot \textbf x \)
Un vector unitario es un vector cuya longitud (o norma) es igual a 1.
Los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) son ortogonales si y solo si
\[ ||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2 \]
La distancia entre los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) se define como
\[ dist(\textbf x,\textbf y) = || \textbf x - \textbf y || \]
Ejemplo 1
Dados los vectores \( \textbf x =
\begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\) ,
\( \textbf y =
\begin{bmatrix}
3 \\
-1 \\
4 \\
0
\end{bmatrix}
\),
\( \textbf z =
\begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
4 \\
-7
\end{bmatrix}
\), encuentre
a)
\( \textbf x \cdot \textbf y \) y \( \textbf y \cdot \textbf x \)
b)
\( \textbf x \cdot \textbf y + \textbf x \cdot \textbf z \) y \( \textbf x \cdot (\textbf y + \textbf z) \)
c) \( (3 \textbf x ) \cdot (-2\textbf z) \)
Solución del Ejemplo 1
Use la definición dada arriba
a)
\( \textbf x \cdot \textbf y = (-2)(3) + 3(-1) + 0(4) + (-1)0 = - 9 \)
Usando la propiedad 1 del producto interno anterior
\( \textbf y \cdot \textbf x = \textbf x \cdot \textbf y = - 9 \)
b)
\( \textbf x \cdot \textbf y + \textbf x \cdot \textbf z = - 9 + 23 = 14 \)
De acuerdo con la propiedad 2 del producto interno
\( \textbf x \cdot (\textbf y + \textbf z) = \textbf x \cdot \textbf y + \textbf x \cdot \textbf z = 14 \)
c)
De acuerdo con la propiedad 3 del producto interno
\( (3 \textbf x ) \cdot (-2\textbf z) = (3)(-2) \textbf x \cdot \textbf y = -6 (-9) = 54 \)
Ejemplo 2
a) Demuestre que los vectores \( \textbf x =
\begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
0
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf y =
\begin{bmatrix}
3 \\
2 \\
4
\end{bmatrix}
\)
son ortogonales.
b)
Encuentre la constante \( a \) y \( b \) para que el vector
\( \textbf z =
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
4
\end{bmatrix}
\) sea ortogonal a ambos vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \)
Solución del Ejemplo 2
Calcule el producto interno de los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \)
a)
\( \textbf x \cdot \textbf y = (-2)(3) + 3(2) + 0(4) = 0 \)
Dado que el producto interno de los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) es igual a cero, los dos vectores son ortogonales.
b)
Primero calculamos el siguiente producto interno
\( \textbf x \cdot \textbf z = -2(a) + 3(b) + 0(4) = -2a + 3b \)
\( \textbf y \cdot \textbf z = 3(a) + 2(b) + 4(4) = 3a + 2b + 16 \)
Para que el vector \( \textbf z \) sea ortogonal a ambos \( \textbf x \) y \( \textbf y \), ambos productos internos calculados arriba deben ser iguales a cero. De ahí el sistema de ecuaciones a resolver
\( -2a + 3b =0 \\ 3a + 2b + 16 = 0 \)
Resuelva el sistema anterior para obtener
\( a = -\dfrac{48}{13} , b = - \dfrac{32}{13} \)
Ejemplo 3
Sea \( \textbf x =
\begin{bmatrix}
\sqrt 2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf y =
\begin{bmatrix}
0 \\
\sqrt 5 \\
0
\end{bmatrix}
\).
Encuentre \( || \textbf x || \), \( || \textbf y || \) y \( || \textbf x + \textbf y|| \) y compare \( || \textbf x ||^2 + || \textbf y ||^2 \) y \( || \textbf x + \textbf y||^2 \)
Solución del Ejemplo 3
Use la fórmula para la definición de la longitud de un vector
\( || \textbf x || = \sqrt { (\sqrt 2)^2 + 0^2 + 1^2 } = \sqrt 3 \)
\( || \textbf y || = \sqrt { 0^2 + (\sqrt 5)^2 + 0^2 } = \sqrt 5 \)
\( || \textbf x + \textbf y|| = \sqrt { (\sqrt 2)^2 + (\sqrt 5)^2 + 1} = \sqrt 8\)
\( || \textbf x ||^2 + || \textbf y ||^2 = 3 + 5 = 8 \)
\( || \textbf x + \textbf y||^2 = 8 \)
Observamos que \( || \textbf x + \textbf y||^2 = || \textbf x ||^2 + || \textbf y ||^2 \) y eso es porque los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) son ortogonales (el producto interno de los dos vectores es igual a 0), lo que verifica el teorema de Pitágoras anterior.