Soluciones a Problemas de la Vida Real de Exponenciales y Logaritmos
Estas son las soluciones detalladas a los problemas de exponenciales y logaritmos.
Solución al Problema 1:
Si \( t = 0 \) corresponde a 1980, entonces 1990 corresponde a \( t = 10 \).
Podemos decir que cuando \( t = 10 \), la población era 10000, y esto da la siguiente ecuación:
\[
5000 e^{10a} = 10000
\]
Divide ambos lados de la ecuación por 5000 y simplifica:
\[
e^{10a} = \dfrac{10000}{5000}
\]
\[
e^{10a} = 2
\]
Usando \(\ln\), la forma exponencial anterior se puede escribir como:
\[
10a = \ln 2
\]
Resuelve la ecuación anterior para \( a \) y aproxima la respuesta a 3 decimales:
\[
a = \dfrac{\ln 2}{10} \approx 0,069
\]
Solución al Problema 2:
Si \( t = 0 \) corresponde al año 2000, entonces \( t = 20 \) corresponde al año 2020.
Necesitamos encontrar \( k \) para que las dos poblaciones sean iguales (\( P_1 = P_2 \)) cuando \( t = 20 \).
\[
10000 e^{20k} = 20000 e^{20 \times 0,01}
\]
Divide ambos lados de la ecuación por \( 20000 e^{20k} \) y simplifica:
\[
\dfrac{10000}{20000} = \dfrac{e^{0,2}}{e^{20k}}
\]
\[
\dfrac{1}{2} = e^{0,2 - 20k}
\]
La forma exponencial anterior puede convertirse a forma logarítmica de la siguiente manera:
\[
0,2 - 20k = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)
\]
Resuelve para \( k \):
\[
k = \dfrac{0,2 - \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}{20}
\]
\[
k \approx 0,045 \quad \text{(a tres decimales).}
\]
Solución al Problema 3:
Si \( I = 10^{-8} \ \text{vatios/cm}^2 \), entonces
\[
D = 10 \log\left(\dfrac{I}{10^{-16}}\right)
\]
\[
= 10 \log\left(\dfrac{10^{-8}}{10^{-16}}\right)
\]
\[
= 10 \log(10^{8}) = 80 \ \text{decibelios}.
\]
Solución al Problema 4:
Usando las fórmulas de decibelios del problema 3, podemos escribir
\[
60 = 10 \log\!\left(\dfrac{I_1}{10^{-16}}\right)
\]
y
\[
80 = 10 \log\!\left(\dfrac{I_2}{10^{-16}}\right).
\]
Resta las ecuaciones anteriores lado a lado de la siguiente manera
\[
60 - 80 = 10 \log\!\left(\dfrac{I_1}{10^{-16}}\right) - 10 \log\!\left(\dfrac{I_2}{10^{-16}}\right).
\]
Lo anterior se puede escribir
\[
20 = 10 \left[ \log\!\left(\dfrac{I_2}{10^{-16}}\right) - \log\!\left(\dfrac{I_1}{10^{-16}}\right) \right].
\]
Divide ambos lados por 10 y usa la propiedad de logaritmos
\(\log a - \log b = \log \left(\dfrac{a}{b}\right)\)
para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera
\[
2 = \log\!\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right).
\]
Lo anterior da
\[
\dfrac{I_2}{I_1} = 10^2 = 100.
\]
Solución al Problema 5:
Si el número de personas infectadas es \( N = 2000 \). Usamos esta información para escribir la siguiente ecuación:
\[
2000 = \dfrac{15000}{1 + 100 e^{-0,5 t}}
\]
Para encontrar el número de días, necesitamos resolver la ecuación anterior para \( t \).
Reescribe la ecuación anterior de la siguiente manera:
\[
1 + 100 e^{-0,5 t} = \dfrac{15000}{2000}
\]
Que se puede escribir como:
\[
e^{-0,5 t} = \dfrac{\dfrac{15000}{2000} - 1}{100}
\]
Ahora usamos el logaritmo natural \(\ln\) para reescribir la ecuación anterior:
\[
-0,5 t = \ln \left( \dfrac{\dfrac{15000}{2000} - 1}{100} \right)
\]
Ahora resuelve para \( t \):
\[
t = \dfrac{\ln \left( \dfrac{\dfrac{15000}{2000} - 1}{100} \right)}{-0,5} \approx 5.467
\]
(aproximado a 3 decimales).
Solución al Problema 6:
La vida media \(T\) de un material radiactivo es el período de tiempo después del cual la cantidad de este material se reduce a la mitad de su cantidad inicial. La cantidad inicial se encuentra estableciendo \(t=0\) en la fórmula
\[
A(t) = A_{0} e^{-kt},
\]
lo que da una cantidad inicial igual a \(A_{0}\). Usando la definición anterior de vida media, podemos escribir
\[
A_{0} e^{-kT} = \dfrac{A_{0}}{2}.
\]
Divide ambos lados por \(A_{0}\) para obtener
\[
e^{-kT} = \dfrac{1}{2}.
\]
Usa \(\ln\) para cambiar la forma exponencial a forma logarítmica:
\[
-kT = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right).
\]
Simplifica \(\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\) y resuelve para \(T\):
\[
T = \dfrac{\ln 2}{k}.
\]
Solución al Problema 7:
\[
y = \dfrac{a}{1 + b e^{-kt}}
\]
Multiplica ambos lados por \( 1 + b e^{-kt} \) y divide ambos lados por \( y \):
\[
1 + b e^{-kt} = \dfrac{a}{y}
\]
Resta \(1\) de ambos lados:
\[
b e^{-kt} = \dfrac{a}{y} - 1
\]
Divide ambos lados por \(b\):
\[
e^{-kt} = \dfrac{\dfrac{a}{y} - 1}{b}
\]
Reescribe la forma exponencial en forma logarítmica:
\[
-kt = \ln\!\left(\dfrac{\dfrac{a}{y} - 1}{b}\right)
\]
Finalmente, resuelve para \(t\):
\[
t = -\dfrac{1}{k} \ln\!\left(\dfrac{\dfrac{a}{y} - 1}{b}\right)
\]
Solución al Problema 8:
Usa la información dada para escribir la ecuación
\[
V_{o} e^{-at} = 0,5 V_{o}
\]
Divide ambos lados por \( V_{o} \):
\[
e^{-at} = \dfrac{1}{2}
\]
Usa \(\ln\) para cambiar la forma exponencial a forma logarítmica:
\[
- at = \ln\!\left(\dfrac{1}{2} \right) = - \ln 2
\]
Resuelve para \( t \):
\[
t = \dfrac{\ln 2}{a}
\]
Solución al Problema 9:
Sustituimos la relación en decibelios y \( P_i \) en la fórmula dada
\[
10 = 10 \log \left( \dfrac{10}{P_i} \right)
\]
Divide ambos lados por 10
\[
1 = \log \left( \dfrac{10}{P_i} \right)
\]
Reescribe la forma logarítmica en forma exponencial
\[
\dfrac{10}{P_i} = 10^1 = 10
\]
Resuelve para \( P_i \)
\[
P_i = 1 \, \text{mW}
\]
Solución al Problema 10:
Sustituye \( t = \dfrac{L}{R} \) en la fórmula dada para la corriente \( i \):
\[
i = \dfrac{E}{R} \left( 1 - e^{-\dfrac{R \cdot L}{L \cdot R}} \right)
\]
Simplifica:
\[
i = \dfrac{E}{R} \left( 1 - e^{-1} \right) \approx 0,632 \, \dfrac{E}{R}
\]
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