¿Qué son las Radicales en Matemáticas?

Las radicales en matemáticas se definen con ejemplos y soluciones detalladas. También se presentan preguntas con sus soluciones.

Potencia de \( n \)

Deje que la siguiente operación de potencia de \( 2 \) (o exponente) se represente mediante el siguiente diagrama:
operación de potencia de 2
Más ejemplos de entradas y salidas de la operación de potencia \( 2 \)
Entrada = \( 4 \) , Salida = \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
Entrada = \( 10 \) , Salida = \( 10^2 = 10 \times 10 = 100 \)
El siguiente diagrama representa la operación de potencia \( 3 \) (o exponente).
operación de potencia de 3
Más ejemplos de entradas y salidas de la operación de potencia \( 3 \)
Entrada = \( 3 \) , Salida = \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
Entrada = \( 1 \) , Salida = \( 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1^3 \)
Entrada = \( 4 \) , Salida = \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
Potencia General de \( n \)

\( a^n = a \times a \times a .... \times a \) , n veces

Definición de Radicales

Radical con índice 2 (o raíz cuadrada) es la inversa de la potencia 2

Ahora representemos la operación inversa de la operación de potencia \( 2 \) como se muestra en el siguiente diagrama.
Intercambiamos la entrada \( 3 \) y la salida \( 9 \) de la operación de potencia \( 2 \), mostrada anteriormente, para convertirse respectivamente en la salida \( 3 \) y la entrada \( 9 \) de la operación inversa como se muestra a continuación.
operación radical con índice 2 o raíz cuadrada
y escribimos: \[ \sqrt[\color\red{\Large 2}]{ 9 } = 3 \text{ porque } 9 = 3^{\color\red{2}} \]
Más ejemplos de entradas y salidas
Entrada = \( 16 \) , Salida = \( \sqrt[2]{16} = 4 \) porque \( 4^2 = 16\)
Entrada = \( 25 \) , Salida = \( \sqrt[2]{25} = 5 \) porque \( 5^2 = 25\)
El símbolo \( \sqrt{ } \) se llama la raíz cuadrada y \( 2 \) es el índice de la raíz. El número (o expresión) dentro de la raíz se llama radicando. Esta operación se llama raíz cuadrada.
raíz cuadrada, radicando e índice
NOTA: Por convención, el símbolo para las raíces con índice \(2\) (o raíz cuadrada) se escribe sin el índice \(2\) como \( \sqrt{\;\;} \).

Radicales con índice 3 (o raíz cúbica) es la inversa de la potencia 3

La operación inversa de la operación de potencia \(3\) como se muestra en el diagrama a continuación se llama la raíz cúbica.
raíz cúbica con índice 3
y escribimos: \[ \sqrt[\color\red{\Large 3}]{ 8 } = 2 \text{ porque } 8 = 2^{\color\red{3}}\]
Más ejemplos de entradas y salidas
Entrada = \( 27 \) , Salida = \( \sqrt[3]{27} = 3 \) porque \( 3^3 = 27\)
Entrada = \( 125 \) , Salida = \( \sqrt[3]{125} = 5 \) porque \( 5^3 = 125\)

En general, los radicales con índice \( n \) (o raíz \(n\)) son la inversa de la potencia \( n \)

Ahora generalizamos y definimos los radicales con índice \( n \) donde \( n \) es un número entero.

Si \( y = a^n \), entonces \( \sqrt[n]{y} = a \) (I)

Más Ejemplos
\( y = 3^5 = 243 \), por lo tanto, \( \sqrt[5]{243} = 3 \)
\( y = 10^6 = 1000000 \), por lo tanto, \( \sqrt[6]{1000000} = 10 \)
\( y = (-2)^3 = -8\), por lo tanto, \( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
\( y = 1^{20} = 1\), por lo tanto, \( \sqrt[20]{1} = 1 \) en general \( \sqrt[n]{1} = 1 \) para cualquier número entero \( n \)
\( y = 0^9 = 0\), por lo tanto, \( \sqrt[9]{0} = 0 \) en general \( \sqrt[n]{0} = 0 \) para cualquier número entero \( n \)
NOTA: Las relaciones en (I) no son válidas si \( n \) es un número entero PAR y \( y \) es un número NEGATIVO.
a) \( \sqrt{-16} \) es INDEFINIDO en los números reales porque no existe ningún número real \( x \) tal que \( x^2 = -16 \) ya que el cuadrado de un número real siempre es positivo o cero.
b) \( \sqrt[4]{-1} \) es INDEFINIDO en los números reales porque no existe ningún número real \( x \) tal que \( x^4 = - 1 \) por la misma razón que la anterior.

La Potencia y el Radical Correspondiente Se Deshacen Entre Sí

Decimos que los radicales y las operaciones de potencia correspondientes (mismo índice) se deshacen entre sí. Si aplicamos las dos operaciones sucesivamente, la salida es igual a la entrada porque las dos operaciones son inversas entre sí.
Las raíces con índice \(2\) (o raíz cuadrada) deshacen la potencia \(2\) como se muestra en el siguiente diagrama, la salida es igual a la entrada.
raíz cuadrada con índice 2 deshace la potencia 2
Lo anterior se puede escribir como \[ \sqrt{3^2} = 3 \]
La potencia \(2\) deshace las raíces con índice \(2\) (o raíz cuadrada) como se muestra en el siguiente diagrama, la salida es igual a la entrada.
potencia 2 deshace la raíz cuadrada con índice 2
Lo anterior se puede escribir como \[ (\sqrt{9})^2 = 9 \]
Nota que la raíz cuadrada con índice \(2\) se escribe como \( \sqrt{\;\;} \) (es decir, sin índice)

Más ejemplos: \( (\sqrt {12})^2 = 12 \) , \( \sqrt {8^2} = 8 \)
Las raíces con índice \(3\) (o raíz cúbica) y la potencia \(3\) se deshacen entre sí.
Ejemplos: \( (\sqrt[3]{5})^3 = 5 \) , \( (\sqrt[3]{10})^3 = 10 \)
En general y para \( a \ge 0 \), podemos escribir

\( \sqrt[n]{a^n} = a \) , \( (\sqrt[n]{a}\;)^n = a \) (II)

Preguntas (con soluciones dadas a continuación)

NO use la calculadora para responder las siguientes preguntas

Parte 1 - Dado lo siguiente:
\( 2^6 = 64 \) , \( \; 3^5 = 243 \) , \( \; 5^3 = 125 \), \( \; 0^7 = 0 \), \( \; 1^{20} = 1 \), \( \; 2^9 = 512 \), \( \; 5^5 = 3125 \), \( \; 10^5 = 100000 \) , \( \; 0.1^3 = 0.001 \)
encuentra los valores de lo siguiente:
\( \sqrt{512} \) , \( \; \sqrt[5]{3125} \) , \( \; \sqrt[5]{243} \) , \( \; \sqrt[6]{64} \) , \( \; \sqrt[3]{0.001} \) , \( \; \sqrt[20]{1} \) , \( \; \sqrt[5]{100000} \) , \( \; \sqrt[7]{0} \) , \( \; \sqrt[3]{125} \)
Parte 2 - Dado lo siguiente:
\( \sqrt{64} = 8 \) , \( \; \sqrt[5]{7776} = 6\) , \( \; \sqrt[3]{1000} = 10 \) , \( \; \sqrt[7]{128} = 2\) , \( \; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) , \( \; \sqrt{10000} = 100\) , \( \; \sqrt[4]{20736} = 12\) , \( \; \sqrt[9]{512} = 2\)
encuentra los valores de lo siguiente:
\( 2^7 \) , \( \; 0.1^7 \) , \( \; 6^5 \) , \( \; 8^2 \) , \( \; 2^9 \) , \( \; 12^4 \) , \( \; 10^3 \) \( \; 100^2 \)
Parte 3 - Simplifica lo siguiente:
\( \sqrt{5^2} \) , \( \; (\sqrt[5]{3})^5\) , \( \; \sqrt[3]{10^3} \) , \( \; (\sqrt[7]{128})^7 \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Parte 1
Dado: \( 2^6 = 64 \) , \( \; 3^5 = 243 \) , \( \; 5^3 = 125 \), \( \; 0^7 = 0 \), \( \; 1^{20} = 1 \), \( \; 2^{9} = 512 \) , \( \; 5^5 = 3125 \), \( \; 10^5 = 100000 \) , \( \; 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt{512} = 9 \) porque se nos da \( \; 2^9 = 512 \) (recuerda que no escribimos el índice de la raíz cuando es igual a \(2 \) ).
\( \sqrt[5]{3125} = 5\) porque \( 5^5 = 3125 \)
\( \sqrt[5]{243} = 3 \) porque \( 3^5 = 243 \)
\( \sqrt[6]{64} = 2\) porque \( 2^6 = 64 \)
\( \sqrt[3]{0.001} = 0.1\) porque \( 0.1^3 = 0.001 \)
\( \sqrt[20]{1} = 1 \) porque \( 1^{20} = 1 \) y ten en cuenta que para cualquier \( n \gt 0 \) , \( \sqrt[n]{1} = 1 \)
\( \sqrt[5]{100000} = 10 \) porque \( 10^5 = 100000 \)
\( \sqrt[7]{0} = 0 \) porque \( 0^7 = 0 \) y ten en cuenta que para cualquier \( n \gt 0 \) , \( \sqrt[n]{0} = 0 \)
\( \sqrt[3]{125} = 3\) porque \( 5^3 = 125 \)
Parte 2
Dado: \( \sqrt{64} = 8 \) , \( \; \sqrt[5]{7776} = 6\) , \( \; \sqrt[3]{1000} = 10 \) , \( \; \sqrt[7]{128} = 2\) , \( \; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1\) , \( \; \sqrt{10000} = 100\) , \( \; \sqrt[4]{20736} = 12\) , \( \; \sqrt[9]{512} = 2\)
\( 2^7 = 128 \) porque \( \sqrt{64} = 8 \) entonces \( \sqrt{64}^2 = 64 \times 2 = 128 \)
\( 0.1^7 = 0.0000001 \) porque \( \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1 \) entonces \( (\sqrt[7]{0.0000001})^7 = 0.0000001 \)
\( 6^5 = 7776 \) porque \( \sqrt[5]{7776} = 6 \) entonces \( (\sqrt[5]{7776})^5 = 7776 \)
\( 8^2 = 64 \) porque \( \sqrt{64} = 8 \) entonces \( \sqrt{64}^2 = 64 \)
\( 2^9 = 512 \) porque \( \sqrt[9]{512} = 2 \) entonces \( (\sqrt[9]{512})^9 = 512 \)
\( 12^4 = 20736 \) porque \( \sqrt[4]{20736} = 12 \) entonces \( (\sqrt[4]{20736})^4 = 20736 \)
\( 10^3 = 1000 \) porque \( \sqrt[3]{1000} = 10 \) entonces \( (\sqrt[3]{1000})^3 = 1000 \)
\( 100^2 = 10000 \) porque \( \sqrt{10000} = 100 \) entonces \( \sqrt{10000}^2 = 10000 \)
Parte 3
Simplifica:
\( \sqrt{5^2} = 5 \) porque \( \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 \)
\( (\sqrt[5]{3})^5 = 3 \) porque \( (\sqrt[5]{3})^5 = 3 \)
\( \sqrt[3]{10^3} = 10 \) porque \( \sqrt[3]{10^3} = \sqrt[3]{1000} = 10 \)
\( (\sqrt[7]{128})^7 = 128 \) porque \( (\sqrt[7]{128})^7 = 128 \)