Soluciones Detalladas a Preguntas sobre Proporciones Matemáticas

Se presentan soluciones detalladas a las preguntas sobre proporciones con explicaciones completas.

1. Encuentra \( x \) si \( \dfrac{x}{2} = \dfrac{4}{8} \).
   Solución
   Multiplica ambos términos de la proporción por los denominadores 2 y 8.
   \( \color{Red} {2\times8}\,\dfrac{x}{2}=\color{Red} {2\times 8}\,\dfrac{4}{8} \)
   Simplifica.
   \( {\color{Red} {\cancel{2}\times8}}\,\dfrac{x}{\cancel{2}}={\color{Red} {2\times \cancel{8}}}\,\dfrac{4}{\cancel{8}} \)
   Simplifica.
   \( 8x = 8 \)
   Divide ambos lados de la ecuación por el factor de x y simplifica.
   \( \dfrac{8x}{8}= \dfrac{8}{8} \)
   \( x = 1 \)
   
2. Encuentra \( p \) si \( \dfrac{3}{p} = \dfrac{1}{5} \)
   Solución
   Multiplica ambos términos de la proporción por los denominadores p y 5.
   \( \color{Red} {5\times p}\,\dfrac{3}{p}=\color{Red} {5\times p}\,\dfrac{1}{5} \)
   Simplifica.
   \( {\color{Red} {5\times \cancel{p}}}\,\dfrac{3}{\cancel{p}}={\color{Red} {\cancel{5}\times p}\,\dfrac{1}{\cancel{5}} } \)
   Simplifica.
   \( 15 = p \)
   
3. Si \( \dfrac{31}{5} = \dfrac{w}{15}\), entonces ¿cuál es el valor de \( w \)?
   Solución
   Multiplica ambos términos de la proporción por los denominadores 5 y 15.
   \( \color{Red} {5\times 15}\,\dfrac{31}{5}=\color{Red} {5\times 15}\,\dfrac{w}{15} \)
   Simplifica.
   \( {\color{Red} {\cancel{5}\times 5}}\,\dfrac{31}{\cancel{5}}={\color{Red} {5\times \cancel{15}}\,\dfrac{w}{\cancel{15}} } \)
   pero no multipliques los números.
   \( 5 \times 31 = 5 \times w \)
   Divide ambos lados por 5
   \( \dfrac{5 \times 31}{5} = \dfrac{5 \times w}{5} \)
   y simplifica.
   \( 31 = w \)
   
4. Encuentra \( k \) si \( \dfrac{2k}{3} = \dfrac{20}{6} \).
   Solución
   Multiplica ambos términos de la proporción por los denominadores 3 y 6.
   \( \color{Red} {3\times 6}\,\dfrac{2k}{3}=\color{Red} {3\times 6}\,\dfrac{20}{6} \)
   Simplifica.
   \( \color{Red} {\cancel{3}\times 6}\,\dfrac{2k}{\cancel{3}}=\color{Red} {3\times \cancel{6}}\,\dfrac{20}{\cancel{6}} \)
   Simplifica.
   \( 12k = 60 \)
   Divide ambos lados por el factor de k (12).
   \( \dfrac{12k}{12} = \dfrac{60}{12} \)
   y simplifica.
   \( k = 5 \)
   
5. Resuelve la proporción \( \dfrac{3}{7} = \dfrac{y}{0} \) si es posible.
   Solución
   No hay solución porque la división por cero no está permitida en matemáticas.
   
6. Resuelve la proporción \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{0}{x} \) si es posible.
   Solución
   El lado izquierdo 1/4 no es igual a cero. El lado derecho es cero o indefinido para \(x = 0\). Por lo tanto, la proporción no tiene solución.
   
7. Si \( \dfrac{m}{4} = \dfrac{3}{12} \), entonces ¿cuál es el valor de \( m \)?
   Solución
   Observa que la fracción del lado derecho, \( \dfrac{3}{12} \), se puede reducir a \( \dfrac{1}{4} \) dividiendo el numerador y el denominador por 3 de la siguiente manera.
   \( \dfrac{3}{12} = \dfrac{3 \div 3}{12\div 3} = \dfrac{1}{4} \)
   Por lo tanto, la proporción dada se puede escribir como:
   \( \dfrac{m}{4} = \dfrac{1}{4} \)
   Las dos fracciones tienen el mismo denominador, por lo que sus numeradores deben ser iguales. Por lo tanto,
   \( m = 1 \)
   
8. Encuentra \( t \) si \( \dfrac{6}{14} = \dfrac{2t}{14} \).
   Solución
   Observa que las dos fracciones que forman la proporción dada tienen el mismo denominador, por lo que sus numeradores deben ser iguales. Por lo tanto,
   \( 6 = 2t \)
   Divide por el coeficiente de \( t \) (2)
   \( \dfrac{6}{2} = \dfrac{2t}{2} \)
   y simplifica
   \( 3 = t \)