Cómo Resolver Problemas de Tasas - Preguntas de Matemáticas de 7º Grado con Soluciones Detalladas

¿Cómo resolver preguntas sobre tasas en matemáticas? Se presentan preguntas de matemáticas de 7º grado junto con soluciones y explicaciones detalladas.

¿Qué son las tasas en matemáticas y dónde se necesitan?

La tasa es una razón entre dos cantidades que tienen unidades diferentes.
¿Dónde se necesitan?

Ejemplo 1:

El auto A recorre 150 kilómetros en 3 horas. El auto B recorre 220 kilómetros en 4 horas. Suponemos que ambos autos viajan a velocidades constantes. ¿Cuál de los dos autos viaja más rápido?

Solución

El auto A recorre 150 kilómetros en 3 horas. En una hora recorre: \[ \dfrac{150 \,\, \text{kilómetros}}{3 \,\, \text{horas}} = \dfrac{50 \,\, \text{km}}{1 \,\, \text{hora}} = 50 \text{km / hora} \] El auto B recorre 220 kilómetros en 4 horas. En una hora recorre: \[ \dfrac{220 \,\, \text{kilómetros}}{4 \,\, \text{horas}} = \dfrac{55 \,\, \text{km}}{1 \,\, \text{hora}} = 55 \text{km / hora} \] Las cantidades 50 km / hora y 55 km / hora se llaman tasas unitarias porque el denominador es una unidad de tiempo: 1 hora. En este caso, las tasas unitarias se pueden usar para determinar qué auto viaja más rápido porque ahora sabemos cuántos kilómetros recorre cada auto en una hora y, por lo tanto, podemos comparar la velocidad (o tasas) y decir que el auto B viaja más rápido.

Ejemplo 2:

Un auto recorre 150 kilómetros en 3 horas. Suponemos que el auto viaja a una velocidad constante. ¿Cuántas horas se necesitan para que este auto recorra 250 kilómetros a la misma velocidad?

Sea t el número de horas necesarias para recorrer 250 kilómetros. Dado que el auto viaja a una tasa constante (velocidad), podemos escribir que la tasa unitaria es la misma sin importar los valores de distancia y tiempo que usemos. Por lo tanto, escribimos: \[ \dfrac{150 \,\, \text{km}}{3\,\,\text{horas}} = \dfrac{250 \,\, \text{km}}{\text{t}} \text{ , t en horas } \] La ecuación anterior en t tiene la forma: \[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \] Multiplicamos ambos términos por el producto de los denominadores $b \times d$: \[ b \times d \times \dfrac{a}{b} = b \times d \times \dfrac{c}{d} \] Simplificamos: \[ \cancel{b}\times d \times\dfrac{a}{\cancel{b}} = b \times \cancel{d} \times \dfrac{c}{\cancel{d}} \]
para obtener: \[ a \times d = b \times c \] Por lo tanto, las ecuaciones $ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} $ y $ a \times d = b \times c $ son equivalentes y tienen la misma solución. Este método de cambiar una ecuación de fracciones en cada lado a productos en cada lado se llama método de "multiplicación cruzada", que usaremos para resolver nuestros problemas.
Volvemos a nuestra ecuación $ \dfrac{150 \,\, \text{km}}{3\,\,\text{horas}} = \dfrac{250 \,\, \text{km}}{\text{t}} $ y usamos el método de "multiplicación cruzada" para escribirla de la siguiente manera: \[ 150 \,\, \text{km} \times t = 250 \text{km}\times 3 \text{horas} \] Como necesitamos encontrar t, lo aislamos dividiendo ambos lados de la ecuación anterior por $ 150 \,\, \text{km} $: \[ \dfrac{150 \,\, \text{km} \times t}{150 \,\, \text{km}} = \dfrac{250 \text{km}\times 3 \text{horas}}{150 \,\, \text{km}} \] Simplificamos:
\[ \dfrac{\cancel{150 \,\, \text{km}} \times t}{\cancel{150 \,\, \text{km}}} = \dfrac{250 \cancel{\text{km}}\times 3 \text{horas}}{150 \,\, \cancel{\text{km}}} \] \[ t = \dfrac{250 \times 3}{150} \, \, \text{horas} = 5 \,\, \text{horas}\]

Los ejercicios a continuación con soluciones y explicaciones tratan sobre la resolución de problemas de tasas.

Resuelve los siguientes problemas de tasas.