Problemas de Círculos para 8º Grado y Soluciones

El diámetro del círculo \( C_1 \) es igual a 20 unidades, por lo que su radio es 10 unidades. El área \( A \) del círculo más grande \( C_1 \) es: \[ A = \pi (10)^2 \] El diámetro del círculo \( C_2 \) es igual al radio del círculo \( C_1 \), que es 10 unidades. El diámetro del círculo \( C_3 \) es igual al radio del círculo \( C_2 \), que es 5 unidades. Por lo tanto, el radio del círculo \( C_3 \) es 2.5 unidades. Calculamos el área \( B \) del círculo más pequeño \( C_3 \): \[ B = \pi (2.5)^2 \] La razón de \( A \) a \( B \) es: \[ \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi (10)^2}{\pi (2.5)^2} \] Simplificando: \[ = \dfrac{(10)^2}{(2.5)^2} = \left(\dfrac{10}{2.5}\right)^2 = 4^2 = 16 \]

El jardín está formado por 4 cuadrados y 2 semicírculos. El área total de los 4 cuadrados es: \[ 4 \times 4 = 16 \text{ metros cuadrados} \] Dado que el área de un cuadrado pequeño es 4 metros cuadrados, la longitud del lado \( s \) de cada cuadrado está relacionada con su área por: \[ s^2 = 4 \] Por lo tanto: \[ s = \sqrt{4} = 2 \text{ metros} \] El radio de cada semicírculo es igual al lado del cuadrado, por lo que el radio es \( 2 \) metros. Los dos semicírculos juntos forman un círculo completo. El área del círculo es: \[ \pi \times 2^2 = 4\pi \] Entonces, el área total del jardín es: \[ 16 + 4\pi \approx 16 + 12.56 = 28.56 \text{ metros cuadrados} \quad (\text{usando } \pi \approx 3.14) \]

Una rotación completa del aspersor irrigaría un área encerrada por un círculo de radio 12 m. Por lo tanto, el área del jardín que el aspersor puede irrigar está dada por la fórmula: \[ A = \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144\pi \approx 452 \text{ metros cuadrados} \]

El camino está encerrado entre un círculo más pequeño de radio \( 10 \) metros y un círculo más grande de radio \( 10+1 = 11 \) metros. Por lo tanto, el área del camino es igual al área encerrada por el círculo más grande menos el área encerrada por el círculo más pequeño. \[ \text{Área del camino} = \pi \times 11^2 - \pi \times 10^2 = 121\pi - 100\pi = 21\pi \text{ metros cuadrados.} \]

Los \$19.99 son el costo total de toda la pizza, cuya área es: \[ \pi \times \left(\dfrac{36}{2}\right)^2 = 1017.87 \, \text{cm cuadrados} \] El costo por cm cuadrado es igual a: \[ \dfrac{19.99}{1017.87} \approx 0.02 \, \text{dólares} = 2 \, \text{centavos por cm cuadrado} \]

La cerca se colocará alrededor del jardín circular, por lo tanto, la longitud de la cerca es igual a la circunferencia del jardín. El radio \( r \) del jardín se encuentra usando la fórmula del área: \[ \pi \times r^2 = 5 \] Resolviendo para \( r^2 \): \[ r^2 = \dfrac{5}{\pi} \] Tomando la raíz cuadrada de ambos lados: \[ r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1.26 \text{ metros} \] La circunferencia del jardín es: \[ 2r \times \pi = 2 \times 1.26 \times \pi \approx 8 \text{ metros} \quad (\text{redondeado al metro más cercano}) \] La longitud de la cerca necesaria es de 8 metros.

Si \( r \) es el radio del disco, su área (antes del incremento) está dada por: \[ A_{\text{antes}} = \pi r^2 \] Si el radio se incrementa en un 20%, el nuevo radio se convierte en: \[ r_{\text{nuevo}} = r + 20\% \, r = r + \dfrac{20}{100} r = 1.2 r \] El área (después del incremento) del disco se convierte en: \[ A_{\text{después}} = \pi (1.2r)^2 = 1.44 \pi r^2 \] El cambio en el área es: \[ \text{Cambio en el área} = A_{\text{después}} - A_{\text{antes}} = 1.44 \pi r^2 - \pi r^2 = \pi r^2 (1.44 - 1) = 0.44 \pi r^2 \] El cambio porcentual en el área es: \[ \text{Cambio porcentual en el área} = \left( \dfrac{\text{Cambio}}{A_{\text{antes}}} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{0.44 \pi r^2}{\pi r^2} \right) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = 44\% \]

Si la mesa tiene un diámetro de 100 pulgadas y el mantel cuelga 15 pulgadas alrededor de la mesa, entonces el diámetro del mantel es igual a: \[ 100 + 15 + 15 = 130 \text{ pulgadas} \] y su radio \( r \) es: \[ r = \dfrac{130}{2} = 65 \] El área del mantel es igual a: \[ A = \pi r^2 = \pi \left( 65 \right)^2 = 4225 \pi \approx 13,267 \text{ pulgadas cuadradas} \]

\[ \text{Área del círculo} = \pi r^2 = 100 \] Resolviendo para \( r^2 \): \[ r^2 = \dfrac{100}{\pi} \] A continuación, usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo \( ABC \) para encontrar la longitud de \( AC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Dado que tanto \( AB \) como \( BC \) son iguales a \( r \), tenemos: \[ AC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \] Sustituyendo el valor de \( r^2 \): \[ AC^2 = 2 r^2 = 2 \left( \dfrac{100}{\pi} \right) = \dfrac{200}{\pi} \] Finalmente, tomando la raíz cuadrada: \[ AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10 \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx 8 \text{ cm} \]

Sea \(R_A\) el radio del círculo \(A\) y \(R_B\) el radio del círculo \(B\). Los perímetros \(P_A \) y \( P_B \) de los círculos \( A \) y \( B\) están dados por: \[ P_A = 2 \pi R_A \quad \text{y} \quad P_B = 2 \pi R_B \] La razón de los perímetros del círculo \(A\) al perímetro del círculo \(B\) da: \[ \dfrac{P_A}{P_B} = \dfrac{2 \pi R_A}{ 2 \pi R_B} = \dfrac{3}{1} = \dfrac{R_A}{R_B} \] lo que simplifica a: \[ R_A = 3 R_B \] Ahora, expresamos las áreas \(A_A\) y \(A_B\) de los dos círculos: \[ A_A = \pi R_A^2 = \pi (3 R_B)^2 \] \[ A_B = \pi R_B^2 \] La razón de las áreas está dada por: \[ \dfrac{A_A}{A_B} = \dfrac{\pi (3 R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{\pi 9 R_B^2}{\pi R_B^2} = 9 \] Por lo tanto, la razón de las áreas es \(9:1\).

Sea \( O \) el centro del círculo. Sea \( P \) el punto donde la perpendicular desde el centro \( O \) se encuentra con la cuerda \( AB \), y sea \( AB \) la cuerda que necesitamos encontrar. \( OP = 6 \) unidades (distancia del centro a la cuerda). Por el Teorema de la Cuerda, la perpendicular biseca la cuerda, por lo que tenemos dos triángulos rectángulos: \( \triangle OAP \) y \( \triangle OBP \), ambos congruentes. \( OA = OB = 10 \) unidades (radio del círculo). Aquí está el diagrama del problema.

Usando el Teorema de Pitágoras en \( \triangle OAP \): \[ OA^2 = OP^2 + AP^2 \] Sustituyendo los valores conocidos: \[ 10^2 = 6^2 + AP^2 \] \[ 100 = 36 + AP^2 \] \[ AP^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ AP = \sqrt{64} = 8 \] Dado que \( P \) es el punto medio de \( AB \), la longitud de toda la cuerda \( AB \) es el doble de la longitud de \( AP \): \[ AB = 2 \times AP = 2 \times 8 = 16 \] La longitud de la cuerda \( AB \) es 16 unidades.