Problemas y Preguntas sobre Círculos para Grado 8 con Soluciones Detalladas

Se presentan soluciones detalladas y explicaciones completas a los problemas y preguntas sobre círculos para el grado 8.

  1. Los tres círculos \( C_1, C_2, C_3 \) tienen centros \( O_1, O_2, O_3 \) en la línea \( L \) y son tangentes en el mismo punto. Si el diámetro del círculo más grande es \( 20 \) unidades, encuentra la relación entre el área del círculo más grande y el más pequeño.

    Diámetro de \( C_1 \) es \( 20 \) ⇒ \( r_1 = 10 \).
    Área de \( C_1 \): \( A = \pi (10)^2 \)
    Diámetro de \( C_2 = 10 \) ⇒ \( r_2 = 5 \)
    Diámetro de \( C_3 = 5 \) ⇒ \( r_3 = 2.5 \)
    Área de \( C_3 \): \( B = \pi (2.5)^2 \)

    \[ \frac{A}{B} = \frac{\pi (10)^2}{\pi (2.5)^2} = \left( \frac{10}{2.5} \right)^2 = 4^2 = 16 \]

    Relación: \( 16 : 1 \)

  2. El jardín de la Sra. Parkinson tiene 4 cuadrados y 2 semicírculos. Cada cuadrado pequeño tiene un área de \( 4\ \text{m}^2 \). Encuentra el área total.

    Área total de los cuadrados: \( 4 \times 4 = 16\ \text{m}^2 \)
    Longitud del lado: \( 2 \ \text{m} \) ⇒ radio del semicírculo \( r = 2 \ \text{m} \)
    Dos semicírculos forman un círculo completo: área \( = \pi (2)^2 = 4\pi \)

    \[ \text{Área total} = 16 + 4\pi \approx 28.56\ \text{m}^2 \]
  3. Un aspersor rocía agua a una distancia máxima de \( 12 \ \text{m} \). Encuentra el área irrigada. \[ A = \pi (12)^2 = 144\pi \approx 452\ \text{m}^2 \]
  4. Un jardín circular con un radio de \( 10 \) metros tiene un camino de ancho \( 1\ \text{m} \). Encuentra el área del camino.

    Radio interior: \( 10 \ \text{m} \), Radio exterior: \( 11 \ \text{m} \)

    \[ A = \pi (11)^2 - \pi (10)^2 = 121\pi - 100\pi = 21\pi \ \text{m}^2 \]
  5. Una pizza circular cuesta \$19.99, diámetro \( 36 \ \text{cm} \). Encuentra el costo por \(\text{cm}^2\).

    Radio: \( 18\ \text{cm} \)
    Área: \( \pi (18)^2 = 324\pi \approx 1017 \ \text{cm}^2 \)

    \[ \text{Costo/cm}^2 \approx \frac{19.99}{1017} \approx 0.02\ \text{USD} \ (\text{2 centavos}) \]
  6. El área del jardín de los Robinson es \( 5\ \text{m}^2 \). Encuentra la longitud de la cerca necesaria.

    \(\pi r^2 = 5 \ \Rightarrow \ r \approx 1.26 \ \text{m}\)

    \[ C = 2\pi r \approx 8\ \text{m} \]
  7. El radio de un disco aumenta en un \( 20\% \). Encuentra el porcentaje de aumento en el área.

    Área original: \( \pi r^2 \)
    Nuevo radio: \( 1.2r \), Nueva área: \( 1.44\pi r^2 \)

    \[ \% \text{ de cambio} = \frac{1.44\pi r^2 - \pi r^2}{\pi r^2} \times 100\% = 44\% \]
  8. Una mesa circular tiene un diámetro de \( 100 \ \text{pulgadas} \), el mantel cuelga \( 15\ \text{pulgadas} \) sobre los bordes. Encuentra el área del mantel.

    Diámetro total: \( 100 + 15 + 15 = 130\ \text{pulgadas} \) ⇒ radio \( 65\ \text{pulgadas} \)

    \[ A = \pi (65)^2 = 4225\pi \approx 13267\ \text{pulgadas}^2 \]
  9. El cuadrado \( ABCD \) tiene un vértice en el centro de un círculo y dos vértices sobre el círculo. El área del círculo es \( 100\ \text{cm}^2 \). Encuentra \( AC \). \[ \pi r^2 = 100 \ \Rightarrow \ r^2 = \frac{100}{\pi} \] \[ AC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 = \frac{200}{\pi} \] \[ AC = 10\sqrt{\frac{2}{\pi}}\ \text{cm} \]
  10. La relación del perímetro del círculo \( A \) al \( B \) es \( 3:1 \). Encuentra la relación de sus áreas. \[ \frac{R_a}{R_b} = 3 \quad \Rightarrow \quad A_a = \pi (3R_b)^2 = 9\pi R_b^2 \] \[ \frac{A_a}{A_b} = 9:1 \]

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