Problemas de Matemáticas con Soluciones para 8vo Grado
Esta página presenta una variedad de problemas de matemáticas de 8vo grado con soluciones completas y explicaciones claras. Los problemas están diseñados para fortalecer la comprensión de temas clave como ecuaciones, sistemas de ecuaciones, fracciones, distancia-tiempo-velocidad, geometría, simplificación de radicales, probabilidad, volumen y estrategias generales de resolución de problemas. Estos desafíos del mundo real y conceptuales ayudan a los estudiantes a ganar confianza y prepararse para matemáticas más avanzadas.
Pregunta 1
Un automóvil recorrió 281 millas en 4 horas y 41 minutos. ¿Cuál fue la velocidad promedio del automóvil en millas por hora?
Primero convertimos el tiempo de 4 horas 41 minutos a horas:
\[4\ \text{horas} + 41\ \text{minutos} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{horas}\]
La velocidad promedio \( S \) está dada por:
\[S = \dfrac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}} = \dfrac{281\ \text{millas}}{\dfrac{281}{60}\ \text{horas}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{millas por hora}\]
La velocidad promedio del automóvil es \( 60 \) millas por hora.
Pregunta 2
Resolver para \( x \):
\[5x - 7 = 3x + 9\]
\[5x - 7 = 3x + 9\]
Restamos \( 3x \) de ambos lados:
\[2x - 7 = 9\]
Sumamos 7 a ambos lados:
\[2x = 16\]
Dividimos ambos lados por 2:
\[x = 8\]
Pregunta 3
Resolver el sistema de ecuaciones:
\[2x + 3y = 12\]
\[4x - y = 7\]
De la segunda ecuación \( 4x - y = 7 \), despejamos \( y \):
\[y = 4x - 7\]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[2x + 3(4x - 7) = 12\]
\[2x + 12x - 21 = 12\]
\[14x - 21 = 12\]
Sumamos 21 a ambos lados:
\[14x = 33\]
\[x = \dfrac{33}{14}\]
Sustituimos para encontrar \( y \):
\[y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7}\]
La solución es \( x = \dfrac{33}{14} \) y \( y = \dfrac{17}{7} \).
Pregunta 4
Simplificar la expresión:
\[\sqrt{50} + \sqrt{18}\]
Simplificamos cada raíz:
\[\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\]
\[\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\]
Sumamos:
\[5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5 + 3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\]
La expresión simplificada es \( 8\sqrt{2} \).
Pregunta 5
Encontrar el área de un trapecio con lados paralelos de 10 cm y 14 cm, y una altura de 6 cm.
La fórmula del área de un trapecio es:
\[A = \dfrac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h\]
Sustituyendo:
\[A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 12 \times 6 = 72\ \text{cm}^2\]
El área del trapecio es \( 72\ \text{cm}^2 \).
Pregunta 6
La longitud de un rectángulo es cuatro veces su ancho. Si el área es 100 m², ¿cuál es la longitud del rectángulo?
Sea \( L \) la longitud y \( W \) el ancho. Tenemos \( L = 4W \) y el área \( L \times W = 100 \).
Sustituyendo: \( 4W \times W = 100 \) → \( 4W^2 = 100 \) → \( W^2 = 25 \) → \( W = 5 \).
Entonces \( L = 4 \times 5 = 20 \) metros.
Pregunta 7
La longitud de un rectángulo se aumenta al doble y su ancho se triplica. Si el área del nuevo rectángulo es 1800 m², ¿cuál es el área del rectángulo original?
Sea el área original \( A = L \times W \). Las nuevas dimensiones son \( 2L \) y \( 3W \).
Nueva área: \( (2L) \times (3W) = 6LW = 1800 \) → \( LW = \dfrac{1800}{6} = 300 \) m².
El área original es 300 m².
Pregunta 8
Cada dimensión de un cubo se duplica. Si el nuevo cubo tiene un volumen de 64,000 cm³, ¿cuál es el área de una cara del cubo original?
Sea \( x \) la arista original. La nueva arista es \( 2x \). Volumen nuevo: \( (2x)^3 = 8x^3 = 64,000 \).
Entonces \( x^3 = 8,000 \) → \( x = \sqrt[3]{8,000} = 20 \) cm.
El área de una cara es \( x^2 = 20^2 = 400 \) cm².
Pregunta 9
La bomba A puede llenar un tanque en 5 horas. La bomba B puede llenar el mismo tanque en 8 horas. ¿Cuánto tiempo tardan las dos bombas trabajando juntas en llenar el tanque? (Redondear al minuto más cercano).
En 1 hora, la bomba A llena \( \frac{1}{5} \) del tanque y la bomba B llena \( \frac{1}{8} \). Juntas llenan \( \frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{13}{40} \) del tanque por hora.
El tiempo \( t \) para llenar el tanque es \( \frac{13}{40} t = 1 \) → \( t = \frac{40}{13} \approx 3.0769 \) horas.
Convertimos: \( 0.0769 \times 60 \approx 5 \) minutos. Tiempo total: 3 horas y 5 minutos.
Pregunta 11
Se bombea agua a tasa constante a un tanque de almacenamiento subterráneo con forma de prisma rectangular. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor los cambios en la altura del agua en el tanque en función del tiempo?
Al llenarse el tanque, la altura del agua debe aumentar constantemente. La gráfica inferior izquierda es la única que muestra un aumento constante de la altura con el tiempo.
Pregunta 12
Un cateto de un triángulo rectángulo mide 18 cm y su área es 216 cm². Encontrar su perímetro.
Área = \( \frac{1}{2} \times \text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2 \).
\( 216 = \frac{1}{2} \times 18 \times b \) → \( b = \frac{216}{9} = 24 \) cm.
Hipotenusa: \( c = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \) cm.
Perímetro: \( 18 + 24 + 30 = 72 \) cm.
Pregunta 13
¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 53 lados?
Fórmula: \( 180(n-2) \) grados. Para \( n = 53 \): \( 180 \times 51 = 9180^\circ \).
Pregunta 14
Jack es más alto que Sarah pero más bajo que Malika y Tania. Malika es más baja que Tania. Natasha es más baja que Sarah. ¿Quién es el más bajo?
Ordenando: Natasha < Sarah < Jack < Malika < Tania. La más baja es Natasha.
Pregunta 15
¿Cuál es la altura (uno de los catetos) y la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que tiene un área de 800 pies²?
Sea \( x \) cada cateto. Área = \( \frac{1}{2} x^2 = 800 \) → \( x^2 = 1600 \) → \( x = 40 \) pies.
Hipotenusa: \( h = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} = 40\sqrt{2} \approx 56.57 \) pies.
Pregunta 16
Encontrar la circunferencia de un círculo inscrito en un cuadrado de lado 20 metros.
El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado: \( d = 20 \) m.
Radio: \( r = 10 \) m. Circunferencia: \( C = 2\pi r = 20\pi \approx 62.8 \) m.
Pregunta 17
Dos escuelas (A y B) tienen el mismo número de alumnos. La razón de niños en la escuela A a niños en la escuela B es 2:1, y la razón de niñas en la escuela A a niñas en la escuela B es 4:5. Encontrar la razón de niños a niñas en la escuela A.
Sean \( x \) niños en B → niños en A = \( 2x \). Sean \( 4y \) niñas en A y \( 5y \) niñas en B.
Total alumnos igual: \( 2x + 4y = x + 5y \) → \( x = y \).
Razón en A: \( \frac{2x}{4y} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2} \).
Pregunta 18
En una clase, la razón de niños a niñas es 5:6. Si hay 66 estudiantes en total, ¿cuántas niñas hay en la clase?
Niños = \( 5x \), niñas = \( 6x \). Total: \( 11x = 66 \) → \( x = 6 \).
Niñas: \( 6 \times 6 = 36 \).
Pregunta 19
Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 3 verdes y 2 azules. Si se selecciona una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o azul?
Total bolas: 10. Favorables: 5 rojas + 2 azules = 7.
Probabilidad: \( \frac{7}{10} \).
Pregunta 20
Una escalera está apoyada contra una pared. La base de la escalera está a 6 metros de la pared, y la escalera alcanza una altura de 8 metros. ¿Cuánto mide la escalera?
Usando el teorema de Pitágoras: \( L^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) → \( L = 10 \) metros.
Pregunta 21
El precio de una chaqueta aumentó de $80 a $100. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
Aumento: $20. Porcentaje: \( \frac{20}{80} \times 100 = 25\% \).
Pregunta 22
Joe condujo a 45 millas por hora cierta distancia. Luego condujo a 55 millas por hora la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad promedio para todo el viaje?
Sea \( d \) la distancia. Tiempo total: \( \frac{d}{45} + \frac{d}{55} = \frac{20d}{495} \) horas.
Distancia total: \( 2d \). Velocidad promedio: \( \frac{2d}{20d/495} = \frac{990}{20} = 49.5 \) mph.
Pregunta 23
Dos pelotas A y B rotan por una pista circular. La pelota A hace 2 rotaciones completas en 26 minutos. La pelota B hace 5 rotaciones completas en 35 minutos. Si empiezan a rotar desde el mismo punto, ¿cuándo volverán a estar en el punto de partida?
Tiempo por rotación: A = \( \frac{26}{2} = 13 \) min, B = \( \frac{35}{5} = 7 \) min.
MCM(13, 7) = 91 minutos.
Pregunta 24
Los números \( x, y, z \) y \( w \) tienen un promedio igual a 25. El promedio de \( x, y, z \) es igual a 27. Encontrar \( w \).
\( \frac{x+y+z+w}{4} = 25 \) → \( x+y+z+w = 100 \).
\( \frac{x+y+z}{3} = 27 \) → \( x+y+z = 81 \).
Restando: \( w = 100 - 81 = 19 \).
Pregunta 25
Peter condujo a velocidad constante durante 2 horas. Luego se detuvo una hora para comprar y descansar, y luego condujo de regreso a casa a velocidad constante. ¿Qué gráfica representa mejor los cambios en la distancia desde casa mientras Peter conducía?
La distancia aumenta al alejarse, se mantiene constante durante la parada, y disminuye al regresar. La gráfica inferior izquierda muestra este patrón.
Pregunta 26
Inicialmente el prisma rectangular de la izquierda estaba lleno de agua. Luego se vertió agua en el contenedor cilíndrico derecho de modo que las alturas del agua en ambos contenedores sean iguales. Encontrar la altura h del agua en ambos contenedores (redondear a la décima de cm más cercana).
Volumen inicial: \( 2 \times 4 \times 10 = 80 \) cm³.
Volumen en prisma central: \( 2 \times 4 \times h = 8h \).
Volumen en cilindro: \( \pi \times 1^2 \times h = \pi h \).
Ecuación: \( 80 = 8h + \pi h \) → \( h = \frac{80}{8+\pi} \approx \frac{80}{11.14} \approx 7.2 \) cm.
Pregunta 27
El perímetro del cuadrado ABCD es igual a 100 cm. La longitud del segmento MN es igual a 5 cm y el triángulo MNC es isósceles. Encontrar el área del pentágono ABNMD.
Lado del cuadrado: \( \frac{100}{4} = 25 \) cm.
Área del cuadrado: \( 25^2 = 625 \) cm².
Triángulo MNC es isósceles rectángulo: \( MC = NC \). Por Pitágoras: \( 2 \times MC^2 = 5^2 \) → \( MC^2 = \frac{25}{2} \).
Área del triángulo: \( \frac{1}{2} \times MC^2 = \frac{25}{4} = 6.25 \) cm².
Área del pentágono: \( 625 - 6.25 = 618.75 \) cm².
Pregunta 28
Dany compró un total de 20 tarjetas de juego, algunas de $0.25 cada una y otras de $0.15 cada una. Si Dany gastó $4.2, ¿cuántas tarjetas de cada tipo compró?
Sean \( X \) tarjetas de $0.25 y \( Y \) de $0.15.
\( X + Y = 20 \)
\( 0.25X + 0.15Y = 4.2 \)
Multiplicando por 100: \( 25X + 15Y = 420 \).
Sustituyendo \( Y = 20 - X \): \( 25X + 15(20-X) = 420 \) → \( 10X = 120 \) → \( X = 12 \), \( Y = 8 \).
Pregunta 29
Se lanza un dado de seis caras una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea par y mayor que 2?
Números pares mayores que 2: 4 y 6 (2 casos).
Probabilidad: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
Pregunta 30
Un contenedor cilíndrico tiene un radio de 4 cm y una altura de 10 cm. ¿Cuál es su volumen? (Usar \( \pi \approx 3.14 \))
\( V = \pi r^2 h = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 16 \times 10 = 502.4 \) cm³.