Soluciones y explicaciones para
problemas matemáticos - Grado 8

Las soluciones detalladas y explicaciones completas a problemas de matemáticas de grado 8 se presentan.

1. Un automóvil viajó 281 millas en 4 horas 41 minutos. ¿Cuál fue la velocidad promedio del auto en millas por hora?
   Solución
   Primero convertimos el tiempo de 4 horas 41 minutos en minutos
   4 horas 41 minutos = 4 × 60 + 41 = 281 minutos
   La velocidad promedio S está dada por la distancia / tiempo. Por lo tanto
   S = 281 millas / 281 minutos = 1 milla / minuto
   = 60 millas / hora
   
   

2. En un grupo de 120 personas, 90 tienen una edad de más de 30 años, y los demás tienen una edad de menos de 20 años. Si una persona es seleccionada al azar de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que la edad de la persona sea menor a 20?
   Solución
   El número de personas cuya edad es inferior a 20 está dado por
   120 - 90 = 30
   La probabilidad P de que una persona seleccionada al azar del grupo sea menor de 20 es gieven por
   30/120 = 0.25
   
   

3. La longitud de un rectángulo es cuatro veces su ancho. Si el área es de 100 m², ¿cuál es la longitud del rectángulo?
   Solución
   Deje L ser la longitud y W sea el ancho del rectángulo. Por lo tanto
   L = 4 W
   Ahora usamos el área para escribir
   100 = L × W
   Sustituye L por 4 W en la ecuación anterior
   100 = 4 W × W = 4 W²
   Resuelve para W y encuentra L
   4 W² = 100
   W² = 25 , W = 5 and L = 4 W = 20 m
   
   

4. Un dado de seis caras se rueda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el número rodado sea un número par mayor que 2?
   Solución
   De los 6 números posibles que pueden rodarse, 3 son pares: 2, 4 y 6 PERO solo 4 y 6 son mayores que 2. De ahí que la probabilidad de que el número sea mayor a 2 sea dada por
   (número de números pares mayor que 2) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3
   
   

5. El punto A tiene las coordenadas (2,2). ¿Cuáles son las coordenadas de su punto de imagen si se traduce 2 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia la izquierda, y se refleja en el eje x?
   Solución
   Una traslación de 2 unidades hacia arriba aumentará la coordenada y en 2 unidades y una traslación de 5 unidades hacia la izquierda disminuirá la coordenada x en 5. Por lo tanto, después de estas traducciones, el punto (2,2) se convierte
   (2 - 5 , 2 + 2) = (-3 , 4)
   Cuando el punto (-3, 4) se refleja en el eje x, su coordenada y cambia de signo y punto (-3, 4) se convierte en
   (-3 , -4)
   
   

6. La longitud de un rectángulo se incrementa a 2 veces su tamaño original y su ancho se incrementa a 3 veces su tamaño original. Si el área del nuevo rectángulo es igual a 1800 metros cuadrados, ¿cuál es el área del rectángulo original?
   Solución
   Si L y W son la longitud y el ancho originales del rectángulo y su área está dada por
   L × W
   Después de aumentar la longitud se convierte en 2 L y el ancho se convierte en 3 W. El área se da por (2 L) × (3 W) y es conocido. Por lo tanto
   (2 L) × (3 W) = 1800
   Resuelve la ecuación anterior para encontrar L × W
   6 L × W = 1800
   L & times; W = 1800/6 = 300 metros cuadrados, área del rectángulo original
   
   

7. Cada dimensión de un cubo se ha aumentado al doble de su tamaño original. Si el nuevo cubo tiene un volumen de 64,000 centímetros cúbicos, ¿cuál es el área de una cara del cubo original?
   Solución
   Deje x ser la longitud del borde del cubo original. Cuando se aumenta al doble de su tamaño original, se convierte en 2 x que da un volumen de
   2x × 2x × 2x = 8x³
   El volumen es conocido. Por lo tanto
   8x³ = 64,000
   x³ = 8,000 lo que da x = 20
   El área de una cara del original (antes del aumento) está dada por x²
   x² = 20² = 400 centímetros cuadrados
   
   

8. La bomba A puede llenar un tanque de agua en 5 horas. La bomba B puede llenar el mismo tanque en 8 horas. ¿Cuánto tardan las dos bombas en trabajar juntas para llenar el tanque? (Redondee su respuesta al minuto más cercano).
   Solución
   En 1 hora, la bomba A puede llenar 1/5 de un tanque y la bomba B puede llenar 1/8 del mismo tanque. Entonces en 1 hora las dos bombas trabajando juntas pueden llenar
   1/5 + 1/8 = 13 / 40 de un tanque
   Dado que la tasa de funcionamiento de las dos bombas es de 13/40, el tiempo necesario para llenar el tanque con las dos bombas se encuentra resolviendo
   (13/40) t = 1
   t = 40 / 13 = 39/13 + 1/13 horas
   = 3 horas y (1/13) × 60 minutos
   = 3 horas y 5 minutos (redondeado al minuto más cercano)
   
   

9. Un tanque de agua, que tiene la forma de un prisma rectangular de base de 100 centímetros cuadrados, se está llenando a razón de 1 litro por minuto. Encuentre la velocidad a la que aumenta la altura del agua en el tanque de agua. Exprese su respuesta en centímetros por minuto.
   Solución
   El volumen de un prisma rectangular viene dado por
   (área de base) × altura
   La velocidad a la que se llena el tanque es de 1 litro por minuto, lo que necesitamos convertir
   1 litro = 1 dm ³
   Pero 1 dm = 10 cm. Por lo tanto
   1 litro = (10 cm)³ = 1000 cm³
   La altura h del agua está relacionada con el volumen
   volumen = (área de base) × h
   En un minuto, el volumen aumenta en 1 litro o 1000 cm ³ y la altura aumenta en
   h = volumen / área de base = 1000 cm ³ / 100 cm ² = 10 cm
   
   

10. Dany compró un total de 20 tarjetas de juego, algunas de las cuales cuestan $ 0.25 cada una y algunas cuestan $ 0.15 cada una. Si Dany gastó $ 4.2 para comprar estas tarjetas, ¿cuántas tarjetas de cada tipo compró?
    Solución
    Deje que X sea la cantidad de tarjetas que cuestan $ 0.25 cada una e Y la cantidad de tarjetas que cuestan $ 0.15 cada una. El número total de cartas es 20. Por lo tanto,
    X + Y = 20
    Si X es la cantidad de tarjetas a $ 0.25, entonces el costo de las tarjetas X
    0.25 X
    Si Y es la cantidad de tarjetas a $ 0.15, entonces el costo de las tarjetas Y
    0.15 Y
    Se sabe que el costo total de las tarjetas X y Y es $ 4.2 y también dado por
    0.25 X + 0.15 Y = 4.2
    Necesitamos resolver el sistema de ecuaciones
    X + Y = 20
    0.25 X + 0.15 Y = 4.2
    La primera ecuación da Y = 20 - X. Sustituye Y por 20 - x en la segunda ecuación y resuelve
    0.25 X + 0.15 (20 - X) = 4.2
    X(0.25 - 0.15) + 3 = 4.2
    0.1 X = 1.2
    X = 12 e Y = 20 - 12 = 8
    
    

11. El tamaño del perímetro del cuadrado ABCD es igual a 100 cm. La longitud del segmento MN es igual a 5 cm y el triángulo MNC es isósceles. Encuentra el área del pentágono ABNMD.
    

    .

    
    Solución
    El lado del cuadrado está dado por
    100 / 4 = 25
    El área A del pentágono ABNMD puede encontrarse al restar el área del triángulo MNC del área total del cuadrado.
    A = 25² - (1/2) × MC × NC
    Como el triángulo MNC es isósceles, la longitud de NC y MC es igual (MC = NC) y el área anterior se puede escribir como.
    A = 25² - (1/2) × MC²
    También el triángulo MNC es un triángulo rectángulo. Usemos Pitágoras para encontrar MC ² .
    MC² + NC² = 5²
    Dado que MC = NC, la ecuación anterior puede escribirse como.
    2 MC² 25
    MC² = 25 / 2
    Ahora sustituimos MC ² por 25/2 en el área A que se encuentra arriba
    A = 25² - 25 / 4 = 625 - 6.25 = 618.75 centímetros cuadrados
    
    

12. El agua se bombea, a un ritmo constante, a un tanque de almacenamiento subterráneo que tiene la forma de un prisma rectangular. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor los cambios en la altura del agua en el tanque en función del tiempo?
    

    .

    
    Solución
    Cuando se bombea agua a un tanque, la altura del agua en el tanque aumentará. El gráfico en el lado superior derecho muestra una altura decreciente y el gráfico en la esquina inferior derecha muestra una altura constante y, por lo tanto, no puede representar la altura como una función del tiempo. El gráfico en la parte superior izquierda no es el gráfico de una función. El único gráfico que puede representar la altura del agua en el tanque que se está llenando es el gráfico en la parte inferior izquierda que muestra una altura creciente.
    
    

13. Inicialmente, el prisma rectangular de la izquierda estaba lleno de agua. Luego se vertió agua en el recipiente cilíndrico derecho para que las alturas del agua en ambos recipientes sean iguales. Encuentra la altura h de agua en ambos contenedores (redondea tu respuesta a la décima de cm más cercana).
    

    .

    
    Solución
    El volumen de agua en el prisma rectangular de la izquierda viene dado por
    2 × 4 × 10 = 80 cm³
    El volumen de agua en el prisma rectangular medio en dado por
    2 × 4 × h = 8 h
    El volumen de agua en el cilindro de la derecha viene dado por
    π × (1)² × h = π × h , π = 3.14
    Como toda el agua en el contenedor de la izquierda se vierte en ambos contenedores a la derecha, entonces
    80 cm³ = 8 h + π × h
    Resuelve para encontrar h
    h = 80 / (8 + π)
    h = 7.2 cm (redondeado a la décima de cm más cercana)
    
    

14. Peter condujo a una velocidad constante durante 2 horas. Luego se detuvo durante una hora para hacer algunas compras y descansar, y luego condujo de regreso a casa manejando a una velocidad constante. ¿Qué gráfica representa mejor los cambios en la distancia desde el hogar que Peter conducía?
    

    .

    
    Solución
    A medida que Peter se vaya de su casa, la distancia desde su casa debería aumentar. Solo los gráficos abajo a la izquierda y arriba a la derecha muestran un aumento al inicio (t = 0). Mientras compra, la distancia se mantiene constante, pero a medida que comienza a retroceder, la distancia debe disminuir a medida que se acerca a casa. Por lo tanto, solo el gráfico en el botón izquierdo muestra una disminución de la distancia y representa mejor los cambios en la distancia.
    

15. Dos bolas A y B giran a lo largo de una pista circular. La bola A hace 2 rotaciones completas en 26 minutos. La bola B hace 5 rotaciones completas en 35 minutos. Si comienzan a girar ahora desde el mismo punto, ¿cuándo volverán a estar en el mismo punto de partida?
    Solución
    Si la bola A hace 2 rotaciones en 26 minutos, hace 1 rotación en 13 minutos. Si la bola B hace 5 rotaciones en 35 minutos, hace 1 rotación en 7 minutos.
    Las dos bolas comienzan a girar ahora y hacen varias rotaciones antes de que estén en los MISMOS puntos de partida. La bola A hubiera hecho un número entero de rotaciones y la bola B hubiera hecho un número entero de rotaciones. También habrían girado durante el mismo período de tiempo T. Por lo tanto
    T = 13 X = 7 Y
    Por lo tanto 13 X = 7 Y
    Resuelve lo anterior para X
    X = 7 Y / 13
    Queremos que llegue el momento en que sean PRIMERO en el mismo punto de partida. Por lo tanto, X e Y son los números enteros más pequeños de la ecuación X = 7 Y / 13. El valor más pequeño de Y que da X como un número entero es 13. Por lo tanto
    X = 7 (13) / 13 = 7
    El tiempo T viene dado por
    T = 13 X = 13 × 7 = 91 minutos = 1 hora y 31 minutos
    or T = 7 Y = 7 × 13 = 91 minutos = 1 hora y 31 minutos
    
    

16. En cierta universidad, el 40% de los estudiantes de último año está tomando Física, el 30% está tomando cálculo y el 10% está tomando ambos. Si 40 estudiantes están inscriptos en la clase de último año, ¿cuántos estudiantes no toman ni física ni cálculo??
    
    

17. Joe manejó a la velocidad de 45 millas por hora por una cierta distancia. Luego condujo a la velocidad de 55 millas por hora por la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad promedio para todo el viaje?
    
    

18. Si el radio de un contenedor cilíndrico se duplica, ¿cómo se cambia la altura del contenedor para que el volumen permanezca igual?
    
    

19. Una pata de un triángulo rectángulo mide 18 cm y su área es de 108 cm cuadrados. Encuentra su mejor momento.
    
    

20. ¿Cuál es la suma de los tamaños de los ángulos interiores de un polígono con 53 lados?
    
    

21. Jack es más alto que Sarah pero más bajo que Malika y Tania. Malika es más corta que tania. Natasha es más bajo que Sarah. ¿Quién es el más corto?
    
    

22. ¿Cuál es la altura (una de las piernas) y la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que tiene un área de 800 pies cuadrados?
    
    

23. Encuentra la circunferencia de un círculo inscrito dentro de un cuadrado con un lado de 20 metros.
    
    

24. Dos escuelas diferentes (A y B) tienen el mismo número de alumnos. La proporción de niños en la escuela A y los niños en la escuela B es de 2: 1 y la proporción de niñas en la escuela A y las niñas en la escuela B es de 4: 5. Encuentre la relación de los niños en la escuela A con las niñas en la escuela A.
    
    

25. Un tanque de agua tiene la forma de un prisma rectangular de base de 50 cm ² . Este tanque se está llenando a razón de 12 litros por minuto. Encuentra la velocidad a la que aumenta la altura del agua en el tanque de agua; expresa tu respuesta en milímetros por segundo.
    
    

26. Una bomba llena un tanque dos veces más rápido que otra bomba. Si las bombas funcionan juntas, llenan el tanque en 18 minutos. ¿Cuánto tiempo lleva cada bomba trabajando solo para llenar el tanque?
    
    

Respuestas a las preguntas anteriores

1. 60 millas por hora
2. 0.25
3. 20 metros
4. 1/3
5. (- 3, -4)
6. 300 metros cuadrados
7. 400 cm cuadrados
8. 3 horas y 5 minutos
9. 10 cm por minuto
10. 12 tarjetas a $ 0.25 y 8 tarjetas a $ 0.15
11. 618.75 cm cuadrados
12. gráfico en la parte inferior izquierda
13. 7.2 cm
14. gráfico en la parte inferior izquierda
15. Después de 1 hora y 31 minutos
16. 16 estudiantes
17. 49.5 millas por hora
18. 1/4 de la altura original
19. 51.6 cm
20. 9180°
21. Natasha
22. altura (pierna) = 40 pies, hipotenusa = 40 pies cuadrados (2) pies
23. 20π metros
24. relación de los niños en la escuela A con las niñas en la escuela A es 1: 2
25. 40 mm / segundo
26. bomba más rápida: 27 minutos, bomba más lenta: 54 minutos

Más referencias y enlaces