1 - Números
π NO es un número racional.
El valor del dígito 5 en el número 34,6597 es
\( \) \( \)\( \) \( \require{cancel} \) \( \require{bbox} \)
2 - Secuencias
Notamos que a medida que pasamos de un término al siguiente, sumamos \( 3 \); por lo tanto, el siguiente término es igual a: \( 12 + 3 = 15 \)
Notamos que al pasar de un término al siguiente, multiplicamos por \( 3 \); por tanto, el siguiente término viene dado por: \( 27 \times 3 = 81 \)
a) Los primeros cinco términos de la secuencia que comienza con \( n = 1 \) se obtienen sustituyendo \( n \) por \( 1, 2, 3, 4, 5 \) en la expresión \( 2 n + 1 \) :
Para \( n = \color{red}1 \) , \( 2 n + 1 = 2( \color{red}1) + 1 = 3 \)
Para \( n = \color{red}2 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}2) + 1 = 5 \)
Para \( n = \color{red}3 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}3) + 1 = 7 \)
Para \( n = \color{red}4 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}4) + 1 = 9 \)
Para \( n = \color{red}5 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}5) + 1 = 11 \)
b) Going from one term to the next, we add \( 2 \) and hence it is an arithmetic sequence with common difference equal to \( 2 \).
a) Los primeros cinco términos de la secuencia que comienza con \( n = 1 \) se obtienen sustituyendo \( n \) por \( 1, 2, 3, 4, 5 \) en la expresión \( 3 \times 2 ^{n-1} \) :
For \( n = \color{red}1 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}1-1} = 3 \times 2^{0} = 3 \)
For \( n = \color{red}2 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}2-1} = 3 \times 2^{1} = 6 \)
For \( n = \color{red}3 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}3-1} = 3 \times 2^{2} = 12 \)
For \( n = \color{red}4 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}4-1} = 3 \times 2^{3} = 24 \)
For \( n = \color{red}5 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}5-1} = 3 \times 2^{4} = 48 \)
b) Pasando de un término al siguiente, multiplicamos por \( 2 \) y por lo tanto es una secuencia geométrica con razón común igual a \( 2 \).
3 - Conjuntos
a) La intersección de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos comunes a ambos conjuntos. Por eso
\( S_1 \cap S_2 = \{ 2, 9, 12 \} \)
b) La unión de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos de los dos conjuntos (sin repetición). Por eso
\( S_1 \cup S_2 = \{ 0, 2, 9, 10, 11, 12 \}\)
Cualquier número real es racional o irracional pero no ambos, por lo tanto
\( Q \cap P = \text{Conjunto Vacío} \)
El conjunto de todos los números reales es la unión de los números racionales e irracionales, por lo tanto
\( Q \cup P = R \)
b) y d) son verdaderas.
4 - Factores, múltiplos y divisibilidad de números
a) \( 345 = 3 \times 5 \times 23 \)
b) \( 150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 \)
c) \( 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)
Un número es divisible por \( 3 \) si la suma de sus dígitos es divisible por \( 3 \).
a)
suma todos los dígitos del número dado \( 101899 \): \[ 1+0+1+8+9+9 = 28 \].
El resultado \( 28 \) no es divisible por \( 3 \) y por lo tanto el número dado \( 101899 \) no es divisible por \( 3 \)
b)
suma todos los dígitos del número dado \( 900234 \): \[ 9+0+0+2+3+4 = 18 \]
El resultado \( 18 \) es divisible por \( 3 \) y por tanto el número dado \( 900234 \) es divisible por \( 3 \)
c)
suma todos los dígitos del número dado \( 134567280 \): \[ 1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36 \]
\( 36 \) es divisible por \( 3 \) y por lo tanto el número dado \( 134567280 \) es divisible por \( 3 \)
Un número es divisible por \( 4 \) si sus dos dígitos a la derecha forman un número que es divisible por \( 3 \).
a)
Los dos dígitos a la derecha del número dado \( 1890\color{red}{01} \) son \( 01 \) que forman un número que no es divisible por \( 4 \) y por lo tanto \( 189001 \) no es divisible por \( 4 \).
b)
Los dos dígitos a la derecha del número dado \( 10056\color{red}{12} \) son \( 12 \) que forman un número que es divisible por \( 4 \) y por lo tanto \ ( 1005612 \) es divisible por \( 4 \).
c)
Los dos últimos dígitos en el número dado \( 10034560\color{red}{24} \) son \( 24 \) que forman un número que es divisible por \( 4 \) y por lo tanto \( 1003456024 \) es divisible por \( 4 \).
Para que un número sea divisible por \( 6 \), tiene que ser divisible por \( 2 \) y por \( 3 \)
a)
\( 234 \) es divisible por \( 2 \) ya que su último dígito a la derecha es \( 4 \) . También es divisible por \( 3 \) ya que la suma de sus dígitos \( 2+3+4 = 9 \) es divisible por \( 3 \). Por lo tanto \( 234 \) es divisible por \( 6 \)
b)
\( 12345 \) no es divisible por \( 6 \) porque no es divisible por \( 2 \)
c)
\( 12114290910 \) es divisible por \( 2 \) ya que su último dígito a la derecha es \( 0 \). La suma de sus dígitos \( 1+2+1+1+4+2+9+0+9+1+0 = 30 \) es divisible por \( 3 \) y por lo tanto el número dado \( 12114290910 \) también es divisible por \( 3 \). Dado que el número dado es divisible por \( 2 \) y por \( 3 \), es divisible por \( 6 \).
5 - Fracciones y Números Mixtos
Comience con la fracción en términos reducidos y multiplique por un factor para obtener la segunda fracción si es posible.
a) Multiplica numerador y denominador de la fracción \( \displaystyle \frac{7}{3} \) por \( 5 \) y simplifica
\( \displaystyle \frac{7 \times 5 }{3 \times 5 } = \frac{35}{15} \)
Obtenemos una fracción con el mismo denominador pero no el mismo numerador que la fracción dada \( \displaystyle \frac{10}{15} \) por lo que las dos fracciones NO son equivalentes.
b) Multiplica numerador y denominador de la fracción \( \displaystyle \frac{2}{3} \) por \( 4 \) y simplifica
\( \displaystyle \frac{2 \times 4}{3 \times 4 } = \frac{8}{12}\)
Obtenemos una fracción con el mismo denominador y el mismo numerador que la fracción dada \( \displaystyle \frac{8}{12} \) por lo que las dos fracciones son equivalentes.
c) Multiplica numerador y denominador de la fracción \( \displaystyle \frac{7}{12} \) por \( 3 \) y simplifica
\( \displaystyle \frac{7 \times 3 }{12 \times 3} = \frac{21}{36} \)
Obtenemos una fracción con el mismo denominador y el mismo numerador que la fracción dada \( \displaystyle \frac{21}{36} \) por lo que las dos fracciones son equivalentes.
a) Reescribe las tres fracciones al mínimo común denominador que es el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores \( 5, 10 \) y \( 15 \). MCM de \( 5, 10 , 15 \) = \( 30 \)
Por eso
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{15} \\~\\ \quad \quad = \frac{2 \times 6 }{5 \times 6} + \frac{3 \times 3}{10 \times 3} - \frac{1 \times 2}{15 \times 2} \\~\\ \quad \quad = \frac{12 }{30} + \frac{9}{30} - \frac{2}{30} \\~\\ \quad \quad = \frac{19}{30} \)
b) Multiplicar denominadores juntos y numeradores juntos
\( \displaystyle \frac{7}{16} \times \frac{4}{14} = \frac{7 \times 4}{16 \times 14} \)
Factoriza los términos \( 16 = 4 \times 4 \) y \( 14 = 2 \times 7 \) en el denominador
\( \displaystyle = \frac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)} \)
Cancelar factores comunes y simplificar
\( \quad \quad \displaystyle = \frac{\cancel{\color{blue}{7}} \times \cancel{\color{red}{4}}}{(\cancel{\color{red}{4}}\times 4) \times (2 \times \cancel{\color{blue}{7}})} = \frac{1}{8} \)
c) Reescribe la división de las fracciones como una multiplicación por el recíproco; por eso
\( \displaystyle \frac{11}{2} \div 4 = \frac{11}{2} \times \frac{1}{4} \)
Simplificar
\( \quad \quad = \frac{11}{8} \)
d) Agrupar las partes enteras juntas y las fracciones juntas
\( \displaystyle 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{8} = (4-1+1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} ) \)
Simplificar
\( \quad \quad = 4 \frac{3}{8} \)
e) Convierte las expresiones \( \displaystyle 1 \frac{3}{4} \) y \( 3 + \frac{1}{3} \) en fracciones.
\( \displaystyle 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \) and \( 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \)
Reescribe la expresión dada usando solo fracciones
\( \displaystyle 1 \frac{3}{4} \div \left(3 + \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{4} \div \frac{10}{3} \)
Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco
\( \quad \quad = \frac{7}{4} \times \frac{3}{10} \)
Simplificar
\( \quad \quad = \frac{21}{40} \)
a) \( 0.2 \div 0.6 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
b) \( 1 \div 0.4 = \frac{10}{4} \)
Es una fracción impropia y, por lo tanto, puede escribirse como un número mixto.
\( \quad \quad = \frac{8+2}{4} = \frac{8}{4} + \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2} \)
Dalia gasta "\( \frac{1}{4} \) de su salario" en alimentos y bebidas
\( \frac{1}{5} \) de "\( \frac{1}{4} \) de su salario" se gasta en refrescos
\( \frac{1}{6} \) de "\( \frac{1}{4} \) de su salario" se gasta en galletas
Gasto total en refrescos y galletas: \( \frac{1}{5} \) de "\( \frac{1}{4} \) de su salario" más \( \frac{1}{6} \) de "\( \frac{1}{4} \) de su salario"
que puede escribirse como
\( \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{11}{120} \)
Dalia gasta \( \frac{11}{120} \) de su salario en refrescos y galletas.
Ben dedica : \( \frac{3}{4} \times 10 = 7.5 \) horas a la tarea durante la semana
Linda dedica: \( \frac{5}{4} \times 10 = 12.5 \) horas a la tarea durante la semana
Usando números mixtos, un litro y medio de jugo se escribe como: \( 1\frac{1}{2} \)
Usando fracciones, un sexto de un litro se escribe como: \( \frac{1}{6} \)
Número de vasos que se pueden llenar = \( 1\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 9 \)
6 - Exponentes y Notación Científica
a) \( (-2)^3 - 5^3 + (-3)^4 \\~\\ \quad \quad = - 8 - 125 + 81 \\~\\ \quad \quad = - 52\)
b) \( \quad (-1)^{-3} - 5^0 + \frac{4^2}{(-2)^4} \\~\\ \quad \quad = \frac{1}{(-1)^3} - 1 + \frac{16}{16} \\~\\ \quad \quad = \frac{1}{-1} -1 +1 = -1 \)
c) \( \quad \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^{-2} \\~\\ \quad \quad = \frac{3^2}{4^2} + \frac{4^{-2}}{3^{-2}} \\~\\ \quad \quad = \frac{9}{16} + \frac{3^2}{4^2} \\~\\ \quad \quad = \frac{9}{8}\)
a) \( 10000 = 10^4\)
b) \( 0.0000001 = 10^{-7}\)
c) \( \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}\)
a) \( 12.4 \times 10^3 = 1.24 \times 10^4\)
b) \( 0.0023 \times 10^{-2} = 2.3 \times 10^{-5} \)
c) \( \frac{12}{100000} = \frac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}\)
7 - Raíz
a) \( \sqrt{16} = 4 \) because \( 4^2 = 16 \)
b) \( \quad \sqrt{9} = 3 \) because \( 3^2 = 9 \)
b) \( \quad \sqrt[3]{8} = 3 \) because \( 3^3 = 8 \)
a) \( \sqrt{3 \times 25} = \sqrt{3 } \times \sqrt{ 25} = 5 \sqrt{3 } \)
b) \( \quad \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{ 5} = 6 \sqrt{ 5} \)
b) \( \quad \sqrt[3]{8 \times 7} = \sqrt[3]{8 } \times \sqrt[3]{7} = 2 \sqrt[3]{7} \)
8 - Proporcionalidad y problemas relacionados
a) Utilice un punto en el gráfico. Por ejemplo, cuando \( t = 1 \) , \( d = 4 \)
Sustituye \( t \) por \( 1 \) y \( d \) por \( 4 \) en la ecuación \( d = k \times t\) para obtener
\( 4 = k \times 1 \)
Simplificar para obtener
\( k = 4 \)
Por tanto, la relación entre la distancia \( d \) y el \( tiempo \) viene dada por
\[ d = 4 \times t\] , con \( d \) en km y \( t \) en horas.
b) Encuentra el tiempo que tarda Leila en caminar d = 10 km resolviendo la ecuación
\( 10 = 4 t \)
Resolver para \( t \)
\( t = 10 \div 4 = 2,5 \) horas
\( 2.5 \) horas también se puede escribir como \( 2:30 \)
Ella está a 10 km de su punto de partida en: \( 8 + 2:30 = 10:30 \)
Se agregó una columna que contiene la razón \( y / x \) y muestra que \( y / x \) es constante e igual a \( 3 \). Por eso
\( y \) es proporcional a \( x \)?
a)
Como \( y / x = 3 \), podemos escribir \( y = 3 x \)
Por eso
\( k = 3 \)
b)
\( y = 3 \times 10.2 = 30.6 \)
a) De la información dada, podemos escribir tres puntos de la forma \( (V , t) \) y son: \( (2,10) \) , \( (4,20) \) y \( (6,30) \) que se trazan a continuación.
b) Los tres puntos están situados en la misma línea y por tanto existe una relación de proporcionalidad entre \( V \) y \( t \).
C) La constante de proporcionalidad \( k \) se define en la ecuación \( V = k \; t \). Por eso
\[ k = V \div t \]
Use cualquiera de los tres puntos anteriores, \( k \) se encuentra de la siguiente manera
\( k = V \div t = 10 \div 2 = 5 \)
o \( k = V \div t = 20 \div 4 = 5 \)
o \( k = V \div t = 30 \div 6 = 5 \)
Por eso
\( V = 5 t \)
d) Como tenemos la relación entre \( V = k \; t \) y \( V = 100 \), sustituimos \( V \) por \( 100 \) en la ecuación \( V = 5 t \).
\( 100 = 5 t \)
Resuelva la ecuación anterior para \( t \)
\( t = 100 \div 5 = 20 \) se necesitan minutos para llenar un tanque de 100 litros.
9 - Porcentaje y problemas relacionados
Precio después del aumento = \( 120 \) + increase = \( 120 \) + \( 12\% \) of \( 120 \)
que se escribe matemáticamente como
Precio después del aumento = \( 120 + 12\% \times 120 = 120 + \frac{12}{100} \times 120 \\~\\ = 120 + 14.4 \\~\\ = \$134.40 \)
El porcentaje del salario de Jimmy gastado en facturas = \( 15\% \) de \( 50\% \) de su salario
que matemáticamente se escribe como
\( \frac{15}{100} \times \frac{50}{100} \\~\\ = \frac{15 \times 50}{100 \times 100} \\~\\ = \frac{750}{10000} \\~\\ = \frac{7.5}{100} \\~\\ = 7.5\% \)
Costo después de impuestos = \( 40 + 15\% \text{ de } 40 = 40 + \frac{15}{100} \times 40 = \$46\)
Costo después de la propina = \( 46 + \frac{5}{100} \times 46 = \$48,30 \)
Gastos de Kamelea \( = \$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600 \)
Ahorro = Salario - gasto \( = \$5000 - \$3600 = \$1400 \)
Ahorro de Kamelea en porcentaje del salario = \( \frac{1400}{5000} = 0.28 = 28 \% \)
Sea \( x \) el número desconocido. se nos da eso
\( 10\% \) de \( \frac{1}{3} \) de \(x \) = 3
que se escribe matemáticamente como
\( \frac{10}{100} \times \frac{1}{3} \times x = 3 \)
La ecuación anterior se puede escribir como
\( \frac{10x}{300} = 3 \)
Multiplica ambos lados de la ecuación por \( 300 \)
\( \frac{10 x}{300} \times 300 = 3 \times 300 \)
Simplificar
\( 10x = 900 \)
Solución para \( x \)
\(x = 900 \div 10 = 90 \)
Aumento porcentual de gas en EE. UU. = \( \frac{4 - 3}{3} = 0,33333 = 33,33\% \)
Incremento porcentual del gas en Francia = \( \frac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\% \)
Estados Unidos y Francia vieron el mismo porcentaje de aumento de gas en ese año.
10 - Convertir unidades de medida
Divide ambos lados de la igualdad \( \quad 1 \text{ m} = 3.28084 \text{ ft} \quad \) entre \( \quad 3.28084 \text{ ft} \quad \)
\( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = \frac{3.28084 \text{ ft}}{3.28084 \text{ ft}} \)
Simplificar para obtener
\( \frac{1 \text{ m}}{3,28084 \text{ ft}} = 1 \)
We now write the given length \( 10.5 \text{ ft} \) as
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \text{ ft} \times 1 \)
Substitute \( 1 \) by \( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} \). Hence
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \text{ ft} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} \)
Cancel \( \text{ ft} \)
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \cancel{\text{ ft}} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \cancel{\text{ ft}}} \)
Calculate to obtain
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \cancel{\text{ ft}} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \cancel{\text{ ft}}} = 3.20039 \text{ m}\)
\( 1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd} \)
Elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad dada \( 1 \; m = 1.09361 \; yd \) para obtener
\( (1 \; m) \times (1 \; m) = (1.09361 \; yd) \times (1.09361 \; yd) \)
Simplificar
\( 1 \; m^2 = 1.19598 \; yd^2 \)
\( 1.2 \; m^2 = 1.2 \times 1.19598 \; yd^2 = 1.435176 \; yd^2\)
\( 1 \; km = 1000 \; m \) and \( 1 \; hr = 3600 \;sec \)
Por eso
\( 100 \; km / hr = \frac{100 \; km}{1 hr} = \frac{100 \times 1000 \; m }{1 \times 3600 \; sec}\)
Simplificar
\( 100 \; km / hr = 27.77777 \; m/sec \)
11 - Evaluar expresiones
Sustituye \( x \) por \( 1 \) en la expresión dada
\( \; \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{(1)+2} - \frac{1}{(1)-2}\; \)
Evaluar
\( = \frac{1}{3} - \frac{1}{-1} = \frac{1}{3} + 1 = 1 \frac{1}{3} \; \)
Sustituye \( x \) by \( -5 \) en la expresión dada
\( \; | \frac{-x+1}{-6} | + x^2 - 1 = | \frac{-(-5)+1}{-6} | + (-5)^2 - 1 \; \)
Evaluar
\( = | \frac{5+1}{-6} | + 25 - 1 = | -1 | + 25 - 1 \\~\\ = 1 + 25 - 1 = 25 \)
Sustituir \( a\) y \( b \) por \( 2 \) y \( -2 \) respectivamente en la expresión dada
\( \; 2^a - \sqrt{b^2} = 2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2}\; \)
Evaluar
\( = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \)
12 - Álgebra
Revisar
La propiedad distributiva en álgebra se puede usar para expandirse de la siguiente manera
\[ a (x + y ) = \color{red}a \times x + \color{red}a \times y \]
La propiedad distributiva también se puede usar a la inversa para factorizar de la siguiente manera
\[ \color{red}a \times x + \color{red}a \times y = \color{red}a (x + y ) \]
a)
Usa la propiedad distributiva en la expresión \( 3 (x + 2) \)
\( 3 (x + 2) + x - 12 = 3 x + 3\times 2 + x - 12 \\~\\ \qquad = 3 x + 6 + x - 12 \)
Agrupar términos similares
\( = (3 x + x) + (6 -12) \)
Simplificar
\( = 4 x - 6 \)
b)
Usa la propiedad distributiva en la expresión \( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) \)
\( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) + 2x + 4 = \frac{1}{5} \times 15 x + \frac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 \)
simplificar el uso \( \frac{1}{5} \times 15 x = \frac{15}{5} x = 3 x \) y \( \frac{1}{5} \times 20 = \frac{20}{5} = 4 \)
\( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) + 2x + 4 = 3 x + 4 + 2x + 4 \)
Agrupar términos similares
\( = (3x + 2x) + ( 4 + 4 ) \)
Simplificar
\( = 5x + 8 \)
c)
Usa la propiedad distributiva en la expresión \( 0.2 ( 5 x + 10) \)
\( 0.2 ( 5 x + 10) + 3x - 4 = 0.2 \times 5 x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 \)
Simplificar
\( = x + 2 + 3x - 4 \\~\\ \qquad = (x+3x) + (2-4) \\~\\ \qquad = 4x - 2 \)
Simplificar las expresiones
a)
\( 2x \times 3 x = (2 \times 3) \times ( x \times x ) = 6 x^2\)
b)
\( \displaystyle \frac{1}{2}x \times \frac{4}{5} x = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} ) \times (x \times x) = \frac{2}{5} x^2 \)
c)
\( 3x^2 \times 5 x^3 = (3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15 x^{2+3} = 15 x^5 \)
a)
El máximo común divisor (MCD) de los coeficientes \( 21 \) y \( 7 \) es igual a \( 7 \), por lo tanto
\( 21 x + 7 = \color{red}7 \times 3 x + \color{red}7 \times 1\)
Usa la propiedad distributiva a la inversa para factorizar \( 7 \) fuera.
\( = 7 ( 3x + 1 ) \)
b)
El máximo común divisor (MCD) de los coeficientes \( 24 \) y \( 20 \) es igual a \( 4 \), por lo tanto
\( 24 - 20 x = \color{red}4 \times 6 - \color{red}4 \times 5x \)
Usa la propiedad distributiva a la inversa para factorizar \( 4 \) fuera.
\( = 4 (6 - 5x) \)
c)
El máximo común divisor (MCD) de los coeficientes \( 8 \), \( 4 \) y \( 32 \) es igual a \( 4 \), por tanto.
\( 8 b - 4 a + 32 = \color{red}4 \times 2 b - \color{red}4 \times a + \color{red}4 \times 8\)
Usa la propiedad distributiva a la inversa para factorizar \( 4 \)
\( = 4 (2b - a + 8) \)
13 - Ecuación con una variable y problemas
a)
Dada la ecuación \( 3(x - 2 ) = 3 \)
Expande la expresión \( 3(x - 2 ) \) usando la propiedad distributiva
\( 3 x - 6 = 3 \)
Añadir \( 6 \) a ambos lados
\( 3 x - 6 + 6 = 3 + 6 \)
Simplificar
\( 3 x = 9 \)
Divide ambos lados entre \( 3 \)
\( 3 x \div 3 = 9 \div 3\)
Simplifica y resuelve para \( x \).
\( x = 3 \)
b)
Dada la ecuación \( 2(9 - x) = - (x + 5) \)
Expande los paréntesis en ambos lados de la ecuación usando la propiedad distributiva
\( 18 - 2 x = - x - 5 \)
Sume \( 2x \) a ambos lados de la ecuación y simplifique
\( 18 - 2 x + 2x = - x - 5 + 2x \)
\( 18 = x - 5 \)
Suma \( 5 \) a ambos lados y simplifica
\( x = 23 \)
c)
Dada la ecuación \( \displaystyle \frac{x+1}{3} = 6 \)
Multiplica ambos lados por el denominador \( 3 \)
\( \displaystyle \frac{x+1}{3} \times 3 = 6 \times 3\)
Simplificar
\( x+1 = 18 \)
Solución para \( x \)
\(x = 17 \)
d)
Dada la ecuación \( 4 \left(x + \displaystyle \frac{1}{4} \right) = -15\)
Expande los paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad distributiva
\( 4 x + 4 \times \frac{1}{4} = -15\)
Simplificar
\( 4 x + 1 = -15\)
Solución para \( x \)
\( 4 x + 1 - 1 = -15 - 1\)
\( 4 x = -16\)
\( x = - 4 \)
e)
Dada la ecuación \( x - \displaystyle \frac{x}{2} = 3 \)
Multiplica todos los términos por el denominador \( 2 \).
\( x \times 2 - \displaystyle \frac{x}{2} \times 2 = 3 \times 2 \)
Simplifica y resuelve para \( x \).
\( 2 x - x = 6 \)
\( x = 6 \)
Dada
a)
Longitud del rectángulo exterior: \( L = 12 + x + x = 12 + 2x\)
Ancho del rectángulo exterior: \( W = 8 + x + x = 8 + 2x \)
Perímetro exterior \( = 2 \times L + 2 \times W = 2 (12 + 2x) + 2(8 + 2x) \)
Expandir y agrupar términos similares
Perímetro exterior \( = 24 + 4x + 16 + 4x = 40 + 8x \)
Perímetro del jardín (en blanco) \( = 2 \times 12 + 2 \times 8 = 40 \)
Dado que "el perímetro exterior es igual al doble del perímetro del jardín", podemos escribir la ecuación
\( 40 + 8x = 2 \times 40 \)
b)
Simplifica el lado derecho de la ecuación obtenida en a)
\( 40 + 8x = 80 \)
Solución para \( x \)
\( 8x = 40 \)
\( x = 5 \; \text{ m} \)
c) \( L = 12 + 2x = 12 + 2 \times 5 = 22 \; \text{ m} \)
\( W = 8 + 2x = 8 + 2 \times 5 = 18 \; \text{ m} \)
d)
Área de jardín y camino = \( = L \times W = 22 \times 18 = 396 \; m^2\)
e) Área del jardín = \( 12 \times 8 = 96 \; m^2\)
f) El área del camino = Área de jardín y camino - Área de jardín \( = 396 - 96 = 300 \; m^2\).
"10 se resta del doble de un número" se escribe como: \( 2x - 10 \)
"el resultado se multiplica por la mitad" se escribe como: \( \frac{1}{2} (2x - 10) \)
"la respuesta es 5" se escribe como: \( \frac{1}{2} (2x - 10) = 5\)
Multiplica ambos lados de la ecuación y simplifica
\( \frac{1}{2} (2x - 10) \times 2 = 5 \times 2\)
\( 2x - 10 = 10 \)
El número original es igual a \( 10 \)
14 - Desigualdad con una variable
a)
Dada la desigualdad \( x+2 \lt 4 \)
Resta \( 2 \) de ambos lados de la desigualdad y simplifica
\( x+2 -2 \lt 4 -2 \)
\( x \lt 2 \)
b)
Dada la desigualdad \( 2(x + 3)\ge 2 \) Expande los paréntesis en el lado izquierdo de la desigualdad usando la propiedad distributiva y simplifica
\( 2 \times x + 2 \times 3 \ge 2 \)
\( 2 x + 6 \ge 2 \)
Resta \( 6 \) de ambos lados de la desigualdad y simplifica
\( 2x + 6 - 6 \ge 2 - 6 \)
\( 2 x \ge - 4 \)
Divide ambos lados de la desigualdad por \( 2 \) y simplifica
\( \frac{2 x}{2} \ge \frac{ - 4}{2} \)
\( x \ge -2 \)
c) Dada la desigualdad \( -3x+2 \le 11 \)
Resta \( 2 \) de ambos lados de la desigualdad y simplifica
\( -3x+2 -2 \le 11 - 2 \)
\( -3x \le 9 \)
Divide ambos lados de la desigualdad entre \( -3 \) y cambia el símbolo de la desigualdad porque \(-3 \) es negativo.
\( \frac{-3x}{-3} \color{rojo}{ \ge } \frac{9}{-3} \)
Simplificar
\( x \ge - 3 \)
d) Dada la desigualdad \( \frac{4x+1}{2} \ge x+3 \)
Multiplica ambos lados de la desigualdad por el denominador \( 2 \)
\( \frac{4x+1}{2} \times 2 \ge (x+3) \times 2 \)
Simplificar
\( 4x+1 \ge 2x + 6 \)
Resta \( 1 \) de ambos lados de la desigualdad y simplifica
\( 4x+1 - 1\ge 2x + 6 - 1 \)
\( 4x \ge 2x + 5 \)
Resta \( 2x \) de ambos lados de la desigualdad y simplifica
\( 4x - 2x \ge 2x + 5 - 2x \)
\( 2x \ge 5 \)
Divide ambos lados de la desigualdad por \( 2 \) y simplifica
\( x \ge 5/2 \)
15 - Funciones
Una función es una relación entre dos conjuntos tal que a cada entrada le corresponde una única salida.
a)
La relación \( \{ (1,2) , (3,4) , (5,7) , (5,9) \} \) es NO una función porque a la entrada \( 5 \) le corresponden dos salidas: \(7 \) y \( 9 \).
b)
La relación \( \{ (-1,-2) , (3,4) , (5,7) , (7,9) \} \) es una función porque a cada entrada le corresponde una sola salida
c)
La relación \( \{ (3,3) , (9,4) , (5,7) , (9,0) \} \) es NO una función porque a la entrada \( 9 \) le corresponden dos salidas: \( 4 \) y \( 0 \).
El gráfico (3) es una línea y, por lo tanto, es el gráfico de una función lineal.
a)
para \( x = 0 \) , \( y = 2 x + 1 = 2(0) + 1 = 1\)
para \( x = 1 \) , \( y = 2 x + 1 = 2(1) + 1 = 3\)
b) Los resultados de la parte a) pueden representarse por pares ordenados \( (x , y) \) como \( (0 , 1) \) y \( (1 , 3) \)
La función dada \( y = 2 x + 1 \) es una función lineal y su gráfica es una línea y, por lo tanto, los dos pares ordenados obtenidos arriba pueden usarse para graficar la función como se muestra a continuación.
a) La función correspondiente al gráfico (1) tiene una mayor tasa de cambio porque aumenta más rápido a medida que aumenta \( x \).
b)
Puntos en el Gráfico (1) : \( (0,1) \) , \( (3,7) \) ; hay muchos otros puntos
Puntos en el Gráfico (2) : \( (0,3) \) , \( (8,8) \) ; hay muchos otros puntos
c)
Tasa de cambio de la Gráfica (1) : \( r_1 = \frac{\text{Cambio en y} }{\text{Cambio en x}} = \frac{7-1}{3 - 0} = 2 \)
Tasa de cambio de la Gráfica (2) : \( r_2 = \frac{\text{Cambio en y} }{\text{Cambio en x}} = \frac{8-3}{8 - 0} = 5/8 \)
d)
Los cálculos muestran que la tasa de cambio de (1) es mayor que la tasa de cambio del gráfico (2), lo que confirma la respuesta a la parte a) anterior.
16 - Figuras bidimensionales
Sea \( h \) la hipotenusa del triángulo y aplique el teorema de Pitágoras para escribir
\( h^2 = 6^2 + 8^2 \)
Resuelva para \( h \) sacando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación anterior.
\( h = \sqrt {6^2 + 8^2} \\~\\ \qquad = \sqrt {36 + 64} \\~\\ \qquad = \sqrt{100} \\~\\ \qquad = 10 \text{cm}\)
Tenga en cuenta que \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \)
Sustituye los ángulos conocidos por sus tamaños.
\( 79^{\circ} = 31^{\circ} + \angle BOC\)
Por eso
\( \angle BOC = 79^{\circ} - 31^{\circ} = 48^{\circ} \)
Tenga en cuenta que los ángulos \( \angle BOC \) y \( \angle EOF \) son verticales y, por lo tanto, tienen tamaños iguales. Por eso
\( \angle EOF = 48^{\circ} \)
Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría como se muestra a continuación.
Los ángulos \( m \angle 1 \) y \( m \angle 2 \) son suplementarios y por lo tanto su suma es igual a \( 180^{\circ} \). Por eso
\( 40^{\circ} + m \angle 2 = 180^{\circ} \)
Resolver para \( m \angle 2 \)
\( m \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}\)
\( m \angle 1 \) y \( m \angle 3 \) son verticales y por lo tanto tienen igual medida, por lo tanto
\( m \angle 3 = m \angle 1 = 40^{\circ} \)
\( m \angle 2 \) y \( m \angle 4 \) son verticales y por lo tanto tienen igual medida, por lo tanto
\( m \angle 4 = m \angle 2 = 140^{\circ} \)
\( m \angle 1 \) y \( m \angle 5 \) son ángulos correspondientes y por lo tanto tienen igual medida, por lo tanto
\( m \angle 5 = m \angle 1 = 40^{\circ}\)
\( m \angle 2 \) y \( m \angle 6 \) son ángulos correspondientes y por lo tanto tienen igual medida, por lo tanto
\( m \angle 6 = m \angle 2 = 140^{\circ}\)
\( m \angle 4 \) and \( m \angle 8 \) son ángulos correspondientes y por lo tanto tienen igual medida, por lo tanto
\( m \angle 8 = m \angle 4 = 140^{\circ}\)
\( m \angle 3 \) and \( m \angle 7 \) son ángulos correspondientes y por lo tanto tienen igual medida, por lo tanto
\( m \angle 7 = m \angle 3 = 40^{\circ}\)
17 - Perímetro y área de figuras planas
radio de circulo: \( r = \text{Diameter} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm} \)
\( \text{Area} = \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314 \; cm^2 \)
El área \( A \) de un triángulo rectángulo con catetos \( a \) y \( b \) viene dada por
\( A = \frac{1}{2} \times a \times b \)
Nos dan el tamaño de un cateto \( a = 16 \) y necesitamos encontrar el tamaño del segundo cateto \(b\).
Usa el teorema de Pitágoras para encontrar el segundo cateto \( b\) del triángulo rectángulo
\( b^2 + 16^2 = 20^2 \)
Por eso
\(b^2 = 20^2 - 16^2 = 144\)
\( segundo = \sqrt {144} = 12 \; cm \)
El área del triángulo rectángulo es igual a: \( \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \; cm^2 \)
Por la simetría, calculamos el área de la parte inferior de la flecha que es un trapezoide cuyo área \( A \) viene dada por
\( A = \frac{1}{2} (\overline{FG}+ \overline{ED}) \times \overline{HE} \)
\(\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24 \)
\( \overline{ED} = 16 \)
Como ABDE es un cuadrado, tenemos \( \quad \overline{AE} = \overline{AB} = 16 \) .
\( \overline{HE} = \frac{1}{2} \overline{AE} = \frac{1}{2} 16 = 8 \)
Por eso
\( A = \frac{1}{2} (24 + 16) \times 8 = 160 \)
El área de la flecha es el doble del área del trapezoide. Por eso
El área de la flecha es igual a \( 2 \times 160 = 320 \; unit^2\)
Descomponemos la forma dada en formas básicas cuyas áreas se calculan fácilmente usando fórmulas.
Área del triángulo isósceles ABG \( = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \)
Área del trapezoide BCFG \( = \frac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5 \)
Área del trapezoide CDEF \( = \frac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6 \)
Área del semicírculo de diámetro DE \( = \frac{1}{2} \times \pi \times 1,5^2 = 3,14 \times 1,5^2 = 3,53 \)
Área total de la región sombreada \( = 8 + 5 + 6 + 3,53 = 22,53 \; mm^2 \) , redondeada a dos decimales.
18 - Volúmenes y Área de Superficie
El volumen de la mitad de la esfera \( = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{6} \times 3,14 \times 6^3 = 452.16\;m^3\)
El volumen del cilindro \( = \pi \times r^2 \times h = 3,14 \times 6^2 \times 10 = 1130,4 \; m^3 \)
El área de la superficie de la mitad de la esfera \( = \frac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \; m^2\)
El área de la superficie del cilindro (sin el fondo) \( = 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 377.00 \; m^2\)
Volumen total del silo \( = 452,16 + 1130,4 = 1582,56 \; m^3 \)
Superficie total del silo \( = 226,08 + 377,00 = 603,08 \; m^2 \)
Debido a la simetría del prisma rectangular, el volumen del prisma triangular es igual a la mitad del volumen del prisma rectangular.
Volumen del prisma rectangular dado \( = 6 \times 3 \times 4 = 72 \; unit^3\)
Volumen del prisma triangular \( \frac{1}{2} \times 72 = 36 \; unit^3\)
El área de superficie del prisma triangular es igual a la mitad del área de superficie del prisma rectangular a lo que le sumamos el área del rectángulo ABCE formado por las diagonales rojas y las aristas AE y BC del prisma rectangular.
Área de la superficie del prisma rectangular \( = 2 \times ( 6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4 ) = 108 \; unit^2\)
Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud \( d \) de la diagonal que es la hipotenusa (roja) del triángulo rectángulo CDE.
\( re^2 = 3^2+4^2 = 25 \)
Usa la raíz cuadrada para encontrar
\( re = 5 \)
Área del rectángulo formado por las diagonales y las aristas \( = 5 \times 6 = 30 \; unit^2\)
Área de la superficie del prisma triangular \( = \frac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \; unit^2\)
Tenga en cuenta que hay otras formas de encontrar el volumen y el área de superficie del prisma rectangular.
19 - Datos y Gráficos
a)
Enero tiene la temperatura promedio más baja de \( -5^{\circ} \) y por lo tanto es el mes más frío.
b)
Julio tiene la temperatura promedio más alta de \( 26^{\circ} \) y por lo tanto es el mes más caluroso del año.
c)
Diferencia de temperatura entre los meses más fríos y más cálidos \( = 26 - (-5) = 31^{\circ} \)
d)
Los menores incrementos son de enero a febrero y de junio a julio
mi)
La menor disminución es de julio a agosto.
a) Los datos dados en orden de menor a mayor valor son los siguientes
\( 31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97 \)
b)
Rango = valor más grande - valor más pequeño \( = 97 - 31 = 66 \)
c)
Comience con la clase \( 30 - 39 \) y agregue el ancho de clase para obtener las clases restantes y cubrir todos los valores de datos con un valor máximo de \( 97 \).
Para obtener la siguiente clase, sumamos \( 10 \) a los límites inferior y superior de una clase dada.
Por tanto, la siguiente clase después de la clase \( 30 - 39 \) está dada por
\( (30 + 10) - (39 + 10) \) = \( 40 - 49 \)
y continúe hasta que todos los valores de datos estén cubiertos como se muestra en la siguiente tabla de frecuencia
d)
Se hace un histograma usando el número de estudiantes en el eje vertical y las clases en el eje horizontal como se muestra a continuación.
e)
Los puntajes en las tres clases \( 3-39 \) , \( 40-49 \) y \( 50-59 \) están por debajo de 60 y el número de estudiantes en estas clases se puede encontrar en la tabla de frecuencia y el histograma .
1 estudiantes en la clase \( 3-39 \)
2 estudiantes en la clase \( 40-49 \)
3 estudiantes en la clase \( 50-59 \)
El número total de estudiantes que reprobaron es igual a
\( 1 + 2 + 3 = 6 \)
El porcentaje de estudiantes que reprobaron está dado por
\( \frac{\text{Número de alumnos que reprobaron} }{\text{Número total de alumnos}} = \frac{6}{25} = 0,24 = 24\% \)
20 - Estadísticas
Primero ordene los valores de los datos de menor a mayor.
\( \{ 0 , 1 , 2 , 2 , 3 , \color{red}{3} , 3 , 4 , 9 , 9 , 10\} \)
La mediana es el valor en el medio (rojo) que es \( 3 \)
El cuartil inferior es la mediana de los valores de datos debajo de la mediana \( 3 \) que en los datos anteriores es \( \{0 , 1 , \color{red}2 , 2 , 3 \} \)
cuartil inferior = \( 2 \)
El cuartil superior es la mediana de los valores de datos por encima de la mediana \( 3 \) que en los datos anteriores es \( \{ 3 , 4 , \color{red} 9 , 9 , 10 \} \)
cuartil superior = \( 9\)
Sea \( x \) la puntuación de la quinta prueba. El promedio de las 5 pruebas está dado por
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \)
El promedio "es al menos 90" se escribe matemáticamente como
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90 \)
Multiplica ambos lados de la desigualdad anterior por 5
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \times 5 \ge 90 \times 5\)
Simplificar
\( 83 + 94 + 97 + 93 + x \ge 450 \)
Solución para x \)
\( x \ge 450 - (83 + 94 + 97 + 93) \)
\( x \ge 83 \)
Mark necesita obtener al menos \( 83 \) en la quinta prueba para tener un promedio de al menos \( 90 \)
21 - probabilidades
Espacio muestral = todos los resultados posibles = \( \{ 1,2,3,4,5,6 \} \)
Conjunto de números pares entre los resultados = \( \{ 2,4,6 \} \)
Hay \( 6 \) resultados posibles de los cuales \( 3 \) son pares; por eso
probabilidad de obtener un número par \( = \frac{\text{Número de elementos en el conjunto de números pares}}{\text{Número de elementos en el espacio muestral}} = \frac{3}{6} = \ fracción{1}{2} \)
a)
La probabilidad de obtener cruz es \( \quad P_1 = \frac{1}{2} \)
La probabilidad de obtener un "4" es \( \quad P_2 = \frac{1}{6} \)
Los eventos son independientes y por lo tanto
La probabilidad de obtener cruz (moneda) y 4 (dado) = \( \quad P_1 \times P_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{ 12} \)
b)
La probabilidad de sacar cara es \( \quad P_3 = \frac{1}{2} \)
La probabilidad de obtener un número impar es \( \quad P_4 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Los eventos son independientes y por lo tanto
La probabilidad de obtener cara (moneda) y un número impar (dado) \( \quad P_3 \times P_3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4 } \)
a)
Usando el principio de conteo, tenemos \( 3 \times 3 = 9 \) resultados posibles escritos como: \[ (1,1) , (1,2), (1,3) , (2,1) , (2 ,2), (2,3) , (3,1) , (3,2), (3,3) \] Hay uno resultado con \( 3 \) en ambas selecciones aleatorias y es \( (3,3) \)
Por eso
La probabilidad de seleccionar 3 en ambas selecciones aleatorias \( = \frac{1}{9} \)
b)
Tres de los \( 9 \) resultados posibles tienen el mismo número en ambas selecciones aleatorias y estos son: \( (1,1) \) , \( (2,2 ) \) y \( (3,3) \)
La probabilidad de seleccionar el mismo número en ambas selecciones aleatorias \( = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
Si 5 dijo que el azul era su color favorito y 6 dijo que el marrón era su número favorito, entonces
\( 20 - 5 - 6 = 11 \) eligió un color que no sea ni azul ni marrón
Por lo tanto, la probabilidad de que el próximo estudiante encuestado elija un color que no sea ni azul ni marrón está dada por
\( \frac{11}{20} \)
