Se presentan ejemplos del grado 9 sobre la suma y resta de polinomios junto con sus soluciones detalladas. Se incluyen más preguntas y sus soluciones, así como explicaciones detalladas.
Ejemplos de Polinomios
Un polinomio es la suma de varios monomios.
Ejemplo 1
Estos son ejemplos de polinomios
\( \quad x^2 + 3x -9 , \quad -4x^5 - 8 x^3 + 3x - 7 , \quad -\dfrac{1}{3} x^3 - 2 x^2 - 5 x + 1 , \quad x^2 + 2xy + y^2\)
Para sumar y restar polinomios, necesitas saber cómo
1) quitar corchetes de polinomios usando la ley distributiva: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), que es una de las reglas básicas de álgebra.
2) y cómo sumar términos semejantes.
Ambas técnicas se explican a continuación.
Distribuir Signos Antes de los Corchetes en Polinomios para Quitar Corchetes
En lo que sigue, usamos corchetes para indicar multiplicación. \( \) \( \) \( \) \( \)
Por ejemplo, \( x \times y \quad \) puede escribirse como \( \quad (x)(y) \quad \) o \( \quad x(y) \quad \)
1) Polinomio dentro de corchetes precedido por ningún signo o el signo más, como
\((2 x - 5)\) o \( +(2 x - 5) \quad \) son lo mismo que \( +1(2x - 5) \)
Usa la ley distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \quad \) para expandir y, por lo tanto, quitar corchetes de la siguiente manera
\( \quad \quad (2 x - 5) = \color{red}{+1}(2x - 5) = \color{red}{+1}(2x) \color{red}{+1}(- 5) = (1)(2)x +(1)(-5) = 2 x - 5 \)
2) Polinomio dentro de corchetes precedido por el signo menos, como
\( - (2 x - 5) \quad \) es lo mismo que \( -1(2x - 5) \)
Usa la ley distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \quad \) para expandir y, por lo tanto, quitar corchetes de la siguiente manera
\(\quad \quad - (2 x - 5) = \color{red}{-1}(2x - 5) = \color{red}-1(2x) \color{red}-1(- 5) = (-1)(2)x +(-1)(-5) = - 2 x + 5 \)
Sumar y Restar Términos Semejantes con Ejemplos
Ejemplos de monomios con términos semejantes
\( - x^2 , - 6 x^2 , - x^2 \quad \) son todos monomios con términos semejantes \( x^2 \) y se pueden sumar
\( -2 y^2 x^2 , y^2 x^2 , - 2 x^2 y^2 \quad \) son todos monomios con términos semejantes \( x y^2 \) y se pueden sumar.
NOTA que los términos \( x^2 y^2 \) y \( y^2 x^2 \) en el ejemplo anterior son iguales Ejemplo 2
Suma/Resta los términos semejantes
a) \( 6x + 4x -5x \quad \) b) \( -x^2 + 5x^2 - 2x^2 \quad \) c) \( xy - 2xy+3yx \)
Solución al Ejemplo 2
a)
\( \begin{split}
6x + 4x -5x & = \color{red}{6}x + \color{red}{4}x \color{red}{- 5}x \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los coeficientes}} \\\\
& = \color{red}{(6 + 4 - 5)} x \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{factorizar la variable y poner los coeficientes dentro de corchetes}} \\\\
& = \color{red}{5} x \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar/restar los coeficientes}} \\\\
\end{split} \)
b)
\( \begin{split}
-x^2 + 5x^2 - 2x^2 &= \color{red}{-1}x^2 + \color{red}{5}x^2 \color{red}{-2}x^2 \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los coeficientes}} \\\\
& = \color{red}{(-1 + 5 - 2)} x^2 \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{factorizar la variable y poner los coeficientes dentro de corchetes}} \\\\
& = \color{red}{2} x^2 \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar/restar los coeficientes}} \\\\
\end{split} \)
c)
\( \begin{split}
xy - 2xy+3xy &= \color{red}{1}x y \color{red}{-2}y x \color{red}{+3}yx \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los coeficientes (NOTA: x y = y x) }} \\\\
& = \color{red}{(1 - 2 + 3)} x y \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los coeficientes, factorizar las variables y poner los coeficientes dentro de corchetes}} \\\\
& = \color{red}{2} xy \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar/restar los coeficientes}} \\\\
\end{split} \)
Sumar y Restar Polinomios con Ejemplos
Para sumar y/o restar polinomios, sumamos los monomios con términos semejantes incluidos en los polinomios a sumar y/o restar.
Ejemplo 3
Suma y/o resta los siguientes polinomios
a) \((2 x^2 + 4 x) + (4x^2 + 3x + 2) \quad \)
b) \( (3 x^3 - x^2 - 4) - ( 4 x^3 + x^2 - 5) \quad \)
c) \( - (6 x^2 y - 5 x y) + ( - 5 x y + y x^2) \)
d) \( (x^2 + 2x - 5 ) - ( -3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3) \)
Solución al Ejemplo 3
a)
\( \begin{split}
(2 x^2 + 4 x) + (4x^2 + 3x + 2) & = \color{red}{+1} \color{green}{( 2 x^2 + 4 x )} \color{red}{+1} \color{blue}{(4x^2 + 3x + 2)} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los signos antes de los corchetes }}\\\\
& = \color{red}{+1}\color{green}{(2 x^2)} \color{red}{+1}\color{green}{(4 x)} \color{red}{+1}\color{blue}{(4 x^2)} \color{red}{+1}\color{blue}{(3 x)} \color{red}{+1}\color{blue}{(2)} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{distribuir + 1 y quitar corchetes }}\\\\
& = \color{green}{ 2 x^2 + 4 x } + \color{blue}{4x^2 + 3x + 2} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{Multiplicar y simplificar }}\\\\
& = (\color{green}{2x^2} + \color{blue}{4x^2}) + (\color{green}{4x} + \color{blue}{3x}) + \color{blue}{2} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{agrupar términos semejantes dentro de corchetes}}\\\\
& = 6x^2 + 7x + 2 \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar términos semejantes dentro de corchetes y simplificar}} \\\\
\end{split} \)
b)
\( \begin{split}
(3 x^3 - x^2 - 4) - (4 x^3 + x^2 - 5) & = \color{red}{+1} \color{green}{( 3 x^3 - x^2 - 4)} \color{red}{-1} \color{blue}{(4 x^3 + x^2 - 5)} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los signos antes de los corchetes }}\\\\
& = \color{red}{+1}\color{green}{(3 x^3)} \color{red}{+1}\color{green}{(-x^2)} \color{red}{+1}\color{green}{(-4)} \color{red}{-1}\color{blue}{(4x^3)} \color{red}{-1}\color{blue}{(x^2)} \color{red}{-1}\color{blue}{(-5)}
\quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{distribuir +1 y - 1 y quitar corchetes.}}\\\\
& = \color{green}{ 3 x^3 - x^2 - 4} \color{blue}{-4 x^3 - x^2 + 5} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{Multiplicar y simplificar.}}\\\\
& = (\color{green}{3x^3} \color{blue}{- 4x^3}) + (\color{green}{-x^2} \color{blue}{- x^2}) + (\color{green}{-4} \color{blue}{+ 5}) \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{agrupar términos semejantes dentro de corchetes}} \\\\
& = -x^3 - 2x^2 + 1 \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar/restar términos semejantes dentro de corchetes y simplificar}} \\\\
\end{split} \)
c)
\( \begin{split}
- (6 x^2 y - 5 x y) + ( - 5 x y + y x^2) & = \color{red}{-1} \color{green}{( 6 x^2 y - 5 x y)} \color{red}{+1} \color{blue}{(- 5 x y + y x^2)} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los signos antes de los corchetes }}\\\\
& = \color{green}{ - 6 x^2 y + 5 x y} \color{blue}{- 5 x y + y x^2} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{distribuir -1 y + 1, quitar corchetes y simplificar.}}\\\\
& = (\color{green}{- 6 x^2 y} \color{blue}{+ y x^2}) + (\color{green}{5xy} \color{blue}{-5xy}) \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{agrupar términos semejantes dentro de corchetes}} \\\\
& = - 5 x^2 y \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar/restar términos semejantes dentro de corchetes y simplificar}} \\\\
\end{split} \)
d)
\begin{split}
(x^2 + 2x - 5) - (-3x^2 + \frac{2}{3} x - 3) & = \color{red}{+1} \color{green}{( x^2 + 2x - 5)} \color{red}{-1} \color{blue}{(-3x^2 + \frac{2}{3} x - 3)} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{identificar los signos antes de los corchetes }}\\\\
& = \color{green}{ x^2 + 2x - 5} \color{blue}{+3x^2 - \frac{2}{3} x + 3} \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{distribuir +1 and - 1, quitar corchetes y simplificar.}}\\\\
& = (\color{green}{ x^2 } \color{blue}{+3 x^2}) + (\color{green}{2x} \color{blue}{-\frac{2}{3} x}) + (- \color{green}{5} \color{blue}{+3}) \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{agrupar términos semejantes dentro de corchetes}} \\\\
& = ( \color{green}{1} \color{blue}{+ 3} ) x^2 + (\color{green}{2}\color{blue}{-\frac{2}{3} }) x + (\color{green}{-5} + \color{blue}{3}) \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{Factorizar variables para facilitar la suma/resta de términos con fracciones.}}\\\\
& = 4 x^2 + \frac{4}{3} x - 2 \quad \style{font-family:Arial; font-size: 100%}{\text{sumar/restar términos dentro de corchetes y simplificar}} \\\\
\end{split}
\)
Preguntas
Las soluciones y explicaciones detalladas a continuación están incluidas.
