Funciones racionales

Funciones racionales y las propiedades de sus gráficas como dominio, asíntotas verticales y horizontales, x e intercepta y se exploran mediante un applet. La investigación de estas funciones se realiza cambiando los parámetros incluidos en la fórmula de la función. Cada parámetro se puede cambiar continuamente lo que permite una mejor comprensión de las propiedades de las gráficas de estas funciones. Una vez que termine con el presente tutorial, es posible que desee a otro tutorial sobre las funciones racionales para explorar más a fondo las propiedades de estas funciones.




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Definición y dominio de funciones racionales

Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinómicas.

f (x) = P (x) / Q (x)

Éstos son algunos ejemplos de funciones racionales:

  • g (x) = (x 2 + 1) / (x - 1)
  • h (x) = (2x + 1) / (x + 3)

Las funciones racionales para explorar en este tutorial son de la forma

f (x) = (ax + b) / (cx + d)


donde a, b, cyd son parámetros que pueden ser cambiadas, usando los controles deslizantes, para entender sus efectos sobre las propiedades de las gráficas de funciones racionales definido anteriormente.

Ejemplo: Encontrar el dominio de cada función se indican a continuación.

  1. g (x) = (x - 1) / (x - 2)
  2. h (x) = (x + 2) / x

Analitica

  1. Para la función g que se determine, el denominador x - 2 debe ser diferente de cero o x no es igual a 2. Por lo tanto el dominio de g viene dada por
    (-Infinito, 2) U (2, + infinito).

  2. Para h definición de la función, el denominador x debe ser diferente de cero o x no es igual a 0. Por lo tanto el dominio de h está dada por
    (-Infinito, 0) U (0, + infinito).

Tutorial interactivo

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  1. Haga clic en el botón "haga clic aquí para empezar", por encima, para iniciar el applet y maximizar la ventana obtenidos.
  2. Establecer una b a 1, a -1, a 1 c y d a -2 con el fin de definir la función g dada, en parte, a), del ejemplo anterior. Compruebe que la gráfica es discontinua en x = 2 (no el gráfico en x = 2).
  3. Establecer una b a 1, a 2, a 1 c y d a 0 con el fin de definir la función h dada en el apartado b) del ejemplo anterior. Compruebe que la gráfica es discontinua en x = 0 (no el gráfico en x = 0).

Los agujeros en los gráficos de funciones racionales

¿Qué pasa si los ceros del numerador y el denominador de la función racional son iguales?

Ejemplo
f (x) = (2x + 2) / (x + 1)
= 2 (x + 1) / (x + 1)
= 2, para x no es igual a -1.

La gráfica de la función f es una línea horizontal con un agujero (función no definido) en x = -1.

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Tutorial interactivo

  1. Volver a la ventana del applet y establecer una a 2, b 2 y c d a 1 y 1 a. Compruebe que el gráfico es el de una línea horizontal. No es fácil observar el agujero desde la discontinuidad (agujero) en la gráfica tiene la dimensión de un píxel que es muy pequeño para ver.
  2. Definir otra función racional con ceros iguales en el numerador y el denominador y comprobar que la gráfica es la de una línea horizontal.

Asíntotas verticales de funciones racionales

Sea f (x) = 1 / x. f (x) no está definida en x = 0 (la división por cero no está permitido). Sin embargo ¿cuál es el comportamiento de la gráfica "cerca" de cero?

En los cuadros siguientes son valores de la función f cuando x tiende a cero desde la derecha (x> 0) y cuando x se aproxima a cero por la izquierda (x <0).

tabla de valores de f (x) cuando x tiende a cero de la derecha

Observamos que cuando x tiende a cero por la derecha, f (x) toma valores mayores. ¿Hay un límite a los valores de f (x)? N, f (x) aumenta sin límite.

tabla de valores de f (x) cuando x tiende a cero de la izquierda

También observamos que cuando x tiende a cero por la izquierda, f (x) toma valores menores. ¿Hay un límite a los valores de f (x)? N, f (x) decrece sin límite. La línea vertical x = 0 se denomina a la asíntota vertical y está dado por el cero del denominador.

Tutorial interactivo

  1. Establezca los parámetros de una a 0, a 1 b, c y d a 1 a 0 (f (x) = 1 / x). Observar el comportamiento de la gráfica a la izquierda ya la derecha de x = 0.
  2. Establezca los parámetros de una a 0, a 1 b, c y d a 1 con distintos valores (0, 1, -1 ,.... Observar el comportamiento de la gráfica a la izquierda ya la derecha de x = d.

Asíntotas horizontales de funciones racionales

Sea f (x) = 1 / x. ¿Cuál es el comportamiento de la gráfica de f como | x | se hace muy grande?

Cuentos muestran debajo de los valores de f cuando x se hace muy grande, y cuando x se hace muy pequeño.

tabla de valores de f (x) cuando x toma valores grandes


tabla de valores de f (x) cuando x toma valores pequeños

Como x toma valores menores o como x toma valores mayores, f (x) toma valores cercanos a cero y la gráfica se aproxima a la línea recta horizontal y = 0. Esta línea se llama la asíntota horizontal.

Tutorial interactivo

  1. Establezca los parámetros de una a 0, a 1 b, c y d a 1 a 0 (f (x) = 1 / x). Observar el comportamiento de la gráfica cuando x toma valores grandes (derecha) y cuando x toma valores más pequeños (a la izquierda). Tenga en cuenta que la gráfica se acerca al eje x (y = 0). Ampliar o si es necesario.
  2. Establezca los parámetros a, b a 1, a 1, c y d a 1 a 2. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal? Cambiar a y b solamente, a determinar las diferentes valores cero y no tenga en cuenta que la ecuación de la asíntota horizontal está dada por y = a / c.

Ejercicios: Encontrar la ecuación de la función racional en el gráfico

Haga clic en "haga clic aquí para iniciar" a continuación para iniciar el applet y generar gráficas de funciones racionales de la forma

f (x) = (ax - b) / (x - c)


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La idea es encontrar la ecuación de la función de la gráfica. Haga clic en el botón "nuevo gráfico" para generar un gráfico. Utilice la intersección x, la horizontal y las asíntotas verticales de la gráfica para encontrar coeficientes a, by c. Utilice los botones de zoom si es necesario. Una vez que haya encontrado a, b y c, haga clic en el botón "Mostrar / Ocultar" para mostrar la respuesta, los coeficientes a, by c.

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Actualizado: 27 de noviembre de 2007 (Dendane)